[論文レビュー] Group Theoretical Approach to the Coherent and the Squeeze States of a Time-Dependent Harmonic Oscillator with a Singular Term

Jung Kon Kim, Sang Pyo Kim|ArXiv.org|Nov 13, 1995

Gyrotron and Vacuum Electronics Research参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、逆二乗特異ポテンシャルを有する時間に依存する調和振動子における一貫性状態および歪んだ状態の群論的枠組みを、SU(2)およびSU(1,1)リーリー代数を用いて構築する。一般化された不変量、数型固有状態、および一貫性状態は、スピン生成代数法を用いて構成され、真空状態を squeeze 演算子を介して時間発展させた一貫性状態へと変換するユニタリ時間発展演算子が導出され、系の量子状態の完全な動的記述が得られる。

ABSTRACT

For a time-dependent harmonic oscillator with an inverse squared singular term, we find the generalized invariant using the Lie algebra of $SU(2)$ and construct the number-type eigenstates and the coherent states using the spectrum-generating Lie algebra of $SU(1,1)$. We obtain the evolution operator in both of the Lie algebras. The number-type eigenstates and the coherent states are constructed group-theoretically for both the time-independent and the time-dependent harmonic oscillators with the singular term. It is shown that the squeeze operator transforms unitarily the time-dependent basis of the spectrum-generating Lie algebra of $SU(1,1)$ for the generalized invariant, and thereby evolves the initial vacuum into a final coherent vacuum.

研究の動機と目的

• 時間に依存する調和振動子に特異な逆二乗ポテンシャルを有する系について、一貫性状態および歪んだ状態の群論的記述を構築すること。
• 系の力学に適した一般化された不変量を、SU(2)リーリー代数を用いて同定すること。
• SU(1,1)のスピン生成代数を用いて、数型固有状態および一貫性状態を構成すること。
• SU(2)およびSU(1,1)の両枠組みにおいて、時間発展演算子を導出すること。
• squeeze 演算子が時間発展演算子を介して初期真空状態を最終の一貫性真空状態へとユニタリに変換する仕組みを示すこと。

提案手法

• 時間に依存する調和振動子に特異項を有する系について、SU(2)リーリー代数を用いて一般化された不変量を導出する。
• SU(1,1)のスピン生成代数を応用して、数型固有状態および一貫性状態を構成する。
• SU(2)およびSU(1,1)の両形式で時間発展演算子を導出し、量子状態の時間発展を記述する。
• squeeze 演算子を用いて、SU(1,1)スピン生成代数の基底をユニタリに変換する。
• 時間発展演算子を初期真空状態に作用させることで、時間発展した一貫性真空状態を構築する。
• 一貫性状態および歪んだ状態の記述を統一する群論的枠組みを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆二乗ポテンシャルを有する時間に依存する調和振動子の一般化された不変量は、どのようにしてSU(2)リーリー代数を用いて導出可能か？
• RQ2 この系において、SU(1,1)代数を用いた数型固有状態および一貫性状態の群論的構成はどのように行われるか？
• RQ3 squeeze 演算子は、スピン生成代数の基底に対してどのようにユニタリに作用し、真空状態を時間発展させるか？
• RQ4 SU(2)およびSU(1,1)表現における時間発展演算子の明示的形は何か？
• RQ5 最終の一貫性真空状態は、発展演算子およびsqueeze 変換を介して初期真空状態とどのように関係するか？

主な発見

• SU(2)リーリー代数を用いて、系の一般化された不変量が成功裏に導出され、動的対称性の枠組みが得られた。
• SU(1,1)スピン生成代数を用いた群論的構成により、数型固有状態および一貫性状態が構成された。
• SU(2)およびSU(1,1)両表現において、時間発展演算子が明示的に導出され、量子状態の時間発展が記述可能となった。
• squeeze 演算子は、SU(1,1)基底に対してユニタリに作用し、初期真空状態を最終の一貫性真空状態へと変換した。
• 系の時間発展は、真空状態に発展演算子のユニタリ作用が働くことによって完全に記述され、動的に生成された一貫性状態が得られた。
• 群論的アプローチにより、特異な逆二乗ポテンシャルの存在下でも、一貫性状態および歪んだ状態の統一的かつ正確な記述が可能となった。