[論文レビュー] Group topologies coarser than the Isbell topology

Szymon Dolecki, Francis Jordan+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2010

Advanced Banach Space Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、イズベール位相より粗い位相としての群位相を、空間 $C(X,\mathbb{R})$ の連続実数値関数の空間に特徴づけている。測度論的技法を用いて、$C(X,\mathbb{R})$ 上のベクトル空間位相 $ \Lambda^{\downarrow}(X)$ の標準的構成を導入し、$C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R})$ が位相線形空間であるための必要十分条件として $X$ がインフラコンソナントであることであることを示している。主な貢献は、$X$ が前ラドンでない場合に、コンパクト開位相より厳密に細かい分割可能な群位相の初の既知の例を提供していることである。

ABSTRACT

The Isbell, compact-open and point-open topologies on the set $C(X,\mathbb{R})$ of continuous real-valued maps can be represented as the dual topologies with respect to some collections $α(X)$ of compact families of open subsets of a topological space $X$. Those $α(X)$ for which addition is jointly continuous at the zero function in $C_α(X,\mathbb{R})$ are characterized, and sufficient conditions for translations to be continuous are found. As a result, collections $α(X)$ for which $C_α(X,\mathbb{R})$ is a topological vector space are defined canonically. The Isbell topology coincides with this vector space topology if and only if $X$ is infraconsonant. Examples based on measure theoretic methods, that $C_α(X,\mathbb{R})$ can be strictly finer than the compact-open topology, are given. To our knowledge, this is the first example of a splitting group topology strictly finer than the compact-open topology.

研究の動機と目的

• イズベール位相が $C(X,\mathbb{R})$ 上で位相群または位相線形空間であるための条件を特徴づけること。
• $C_{\alpha}(X,\mathbb{R})$ がイズベール位相より粗い群位相をもつための条件を特定すること。
• $C(X,\mathbb{R})$ 上に、特定の空間に対してコンパクト開位相より厳密に細かい標準的ベクトル空間位相 $\Lambda^{\downarrow}(X)$ を構成すること。
• コンパクト開位相より厳密に細かい分割可能な群位相の初の例を、測度論的構成を用いて提供すること。

提案手法

• 論文は、$C(X,\mathbb{R})$ 上の双対位相を生成するため、$X$ の開集合のコンパクトかつ開的単調な族の集合 $\alpha(X)$ を定義し、部分基底を開集合 $[\mathcal{A}, U] = \{f \in C(X,\mathbb{R}) : f^{-1}(U) \in \mathcal{A}\}$ を用いる。
• 論文は、$C_{\alpha}(X,\mathbb{R})$ において加法がゼロで jointly 連続となるような $\kappa(X)$ 内のコンパクト族の最大の遺伝的集合 $\Lambda^{\downarrow}(X)$ を導入する。
• $X$ 上の $\tau$-加法的有限測度 $\mu$ を用いて、$\mathcal{M}_r^\mu = \{O \in \mathcal{O}_X : \mu(O) > r\}$ という族を構成し、これが自己分割可能かつ遺伝的に自己結合可能であることを示している。
• 論文は、$X$ が前ラドンでない場合、$\Lambda^{\downarrow}(X)$ が $k(X)$ を厳密に含むことを証明しており、これは $C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R})$ が $C_k(X,\mathbb{R})$ より厳密に細かいことを意味し、かつ位相線形空間であることを示している。
• 論文は、$C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R})$ が位相線形空間であるための必要十分条件として、$X$ がインフラコンソナントであることであることを確立している。
• 分割可能な位相と連続収束の同値性を用いて、$C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R})$ が分割可能であり、かつ前ラドンでない空間ではコンパクト開位相より厳密に細かいことを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 イズベール位相 $\kappa(X,\mathbb{R})$ が位相群であるための条件は何か？
• RQ2 コンパクト開位相より厳密に細かいが、依然として分割可能な群位相を $C(X,\mathbb{R})$ がもつことは可能か？
• RQ3 イズベール位相より粗いかつ加法の jointly 連続性を保証するベクトル空間位相の標準的構成は存在するか？
• RQ4 非ラドンである $\tau$-加法的測度が $X$ に存在することは、$C(X,\mathbb{R})$ 上で厳密に細かい群位相の存在を示唆するか？
• RQ5 完全正則空間において、インフラコンソナント空間はコンソナント空間と一致するか？

主な発見

• イズベール位相 $\kappa(X,\mathbb{R})$ が位相線形空間であるための必要十分条件は、$X$ がインフラコンソナントであることである。
• $\Lambda^{\downarrow}(X)$ は、$C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R})$ が位相線形空間であるような $\kappa(X)$ 内の最大の遺伝的族を形成する。
• 任意の完全正則空間 $X$ が前ラドンでない場合、$C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R})$ はコンパクト開位相 $C_k(X,\mathbb{R})$ より厳密に細かく、かつ位相線形空間である。
• $C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R})$ は分割可能であり、コンパクト開位相より厳密に細かい。これは、このような位相の初の既知の例である。
• ハウスドルフかつ前ラドンでない空間 $X$ に対して、$\Lambda^{\downarrow}(X)$ は $k(X)$ を厳密に含むため、$C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R}) > C_k(X,\mathbb{R})$ が成り立つ。
• 前ラドンでない Sorgenfrey 直線は、コンパクト開位相より厳密に細かい群位相 $C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R})$ をもつ。