[論文レビュー] Groupes de Kac-Moody déployés sur un corps local, II Masures ordonnées

Guy Rousseau|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、任意の実数値体上の分裂 Kac-Moody 群に対して、順序付きアフィンホーベル（マスール）を構成する。これは、Gaussent-Rousseau や Bruhat-Tits の先行結果を一般化するものである。Mathieu の最大 Kac-Moody 群と整数値ユニバーサル包あらわし代数を用いて、Rousseau（2011）で定義された順序付きアフィンホーベルの公理すべてを満たすことが証明される。特に、前順序の不変性および無限遠におけるツインビルディングの存在が含まれる。

ABSTRACT

For a split Kac-Moody group (in J. Tits' definition) over a field endowed with a real valuation, we build an ordered affine hovel on which the group acts. This construction generalizes the one already done by S. Gaussent and the author when the residue field contains the complex field [Annales Fourier, 58 (2008), 2605-2657] and the one by F. Bruhat and J. Tits when the group is reductive. We prove that this hovel has all properties of ordered affine hovels (masures affines ordonnées) as defined in [Rousseau, ArXiv 0810.4241]. We use the maximal Kac-Moody group as defined by O. Mathieu and we prove a few new results about it over any field; in particular we prove, in some cases, a simplicity result for this group.

研究の動機と目的

• 再帰的群および複素数余因子 Kac-Moody 群からの順序付きアフィンホーベル（マスール）の構成を、任意の分裂 Kac-Moody 群と任意の実数値体上に一般化すること。
• 構成されたホーベルが、Rousseau（2011）で定義された順序付きアフィンホーベルのすべての公理を満たすことを確立すること。特に、前順序の不変性および無限遠におけるツインビルディング構造を含む。
• Mathieu の最大群構成法と整数値ユニバーサル包あらわし代数を用いて、任意の体上の Kac-Moody 群理論を拡張すること。
• 特定の状況において、最大 Kac-Moody 群の単純性に関する結果を証明し、Moody の定理を一般化すること。
• Cartan 分解とパラホリック部分群を、正の残余特性を含む非離散的・非再帰的設定でも捉えることができる幾何的枠組み（ホーベル）を提供すること。

提案手法

• 『証拠アパートメント』とこのアパートメント上のフィルターに付随するパラホリック部分群を用いてホーベルを構成し、Bruhat-Tits の手法を一般化する。
• Kumar の群の代わりに、Mathieu の最大 Kac-Moody 群 $G^{pma}$ または $G^{nma}$ を環境群として採用する。
• 整数値ユニバーサル包あらわし代数を用いて、ねじれた除法べきとねじれた指数関数を定義し、群の元に対する代数的制御を可能にする。
• ねじれた除法べきを用いた Poincaré-Birkhoff-Witt 定理を適用し、ユニバーサル包あらわし代数の基底を確立する。
• 最大群を容器として用い、証拠アパートメント上のフィルターを系統立ててパラホリック部分群を構成する。
• 得られたホーベルが、順序付きアフィンホーベルの公理を満たすことを検証する。特に、無限遠におけるツインビルディングの存在と $G$-不変前順序の存在を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の実数値体上の分裂 Kac-Moody 群に対して、残余体やルート系に制限を設けずに、順序付きアフィンホーベルを構成できるか？
• RQ2 Mathieu の最大群と整数値ユニバーサル包あらわし代数を用いて構成されたホーベルが、Rousseau（2011）で定義された抽象的公理をすべて満たすか？
• RQ3 Mathieu の最大 Kac-Moody 群の構造的性質、特に単純性に関して、任意の体上での性質は何か？
• RQ4 パラホリック部分群と証拠アパートメントは、ホーベル上に $G$-不変の幾何的構造を一貫して定義するか？
• RQ5 ホーベル枠組みは、非離散的・非再帰的設定においても Kac-Moody 群の Cartan 分解を捉えることができるか？

主な発見

• 任意の実数値体上の分裂 Kac-Moody 群に対して、well-defined な順序付きアフィンホーベルが得られ、再帰的群や複素数余因子 Kac-Moody 群に対する先行結果を一般化する。
• ホーベルは、Rousseau（2011）で定義された順序付きアフィンホーベルのすべての公理を満たす。特に、$G$-不変前順序および無限遠におけるツインビルディングの存在を含む。
• 整数値ユニバーサル包あらわし代数に対して、ねじれた除法べきを用いた Poincaré-Birkhoff-Witt 定理が確立され、群代数の基底が得られる。
• 最大 Kac-Moody 群内にねじれた指数関数が構成され、標準的指数写像が存在しない状況でも群の元を制御可能となる。
• 特定の状況において、最大 Kac-Moody 群 $G^{pma}$ または $G^{nma}$ の単純性に関する結果が証明され、Moody の定理が一般設定へ拡張される。
• ホーベルの構成は、任意の残余特性（正の特性を含む）で有効であり、複素数余因子に依存する従来の手法の制限を克服する。