[論文レビュー] Groupoid actions on $C^*$-correspondences

Valentin Deaconu|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、C*-対応への群作用を群擬似に拡張し、特定の条件下で、Cuntz-Pimsner代数の群擬似による交叉積が、交叉対応のCuntz-Pimsner代数に同型であることを証明する。さらに、群擬似作用における不動点代数がDoplicher-Roberts代数に同型であることを示し、これらの結果を用いて、コンパクトな同型群をもつ群擬似による有向グラフのC*-代数の交叉積が、別のグラフC*-代数に安定同型であることを証明する。

ABSTRACT

Let the groupoid $G$ with unit space $G^0$ act via a representation $ρ$ on a $C^*$-correspondence ${\mathcal H}$ over the $C_0(G^0)$-algebra $A$. By the universal property, $G$ acts on the Cuntz-Pimsner algebra ${\mathcal O}_{\mathcal H}$ which becomes a $C_0(G^0)$-algebra. The action of $G$ commutes with the gauge action on ${\mathcal O}_{\mathcal H}$, therefore $G$ acts also on the core algebra ${\mathcal O}_{\mathcal H}^{\mathbb T}$. We study the crossed product ${\mathcal O}_{\mathcal H} times G$ and the fixed point algebra ${\mathcal O}_{\mathcal H}^G$ and obtain similar results as in \cite{D}, where $G$ was a group. Under certain conditions, we prove that ${\mathcal O}_{\mathcal H} times G\cong {\mathcal O}_{\mathcal H times G}$, where $\mathcal H times G$ is the crossed product $C^*$-correspondence and that ${\mathcal O}_{\mathcal H}^G\cong{\mathcal O}_ρ$, where ${\mathcal O}_ρ$ is the Doplicher-Roberts algebra defined using intertwiners. The motivation of this paper comes from groupoid actions on graphs. Suppose $G$ with compact isotropy acts on a discrete locally finite graph $E$ with no sources. Since $C^*(G)$ is strongly Morita equivalent to a commutative $C^*$-algebra, we prove that the crossed product $C^*(E) times G$ is stably isomorphic to a graph algebra. We illustrate with some examples.

研究の動機と目的

• C*-対応への群作用に関する結果を、群擬似作用の設定に一般化すること。
• 群擬似作用による交叉積 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}} \rtimes G$ および不動点代数 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}}^{G}$ の構造を研究すること。
• 適切な条件下で、$\mathcal{O}_{\mathcal{H}} \rtimes G$ と $\mathcal{O}_{\mathcal{H} \rtimes G}$ の間、および $\mathcal{O}_{\mathcal{H}}^{G}$ とDoplicher-Roberts代数 $\mathcal{O}_{\rho}$ の間の同型を確立すること。
• 結果を有向グラフへの群擬似作用に適用し、群擬似の同型がコンパクトである場合に、グラフC*-代数の交叉積が別のグラフC*-代数に安定同型であることを証明すること。

提案手法

• 表現 $\rho: G \to \mathcal{L}_\mathbb{C}(\mathcal{H})$ を用いて、$C_0(G^0)$ 上のC*-対応 $\mathcal{H}$ における群擬似作用を定義する。
• 普遍性を用いて、群擬似作用をCuntz-Pimsner代数 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}}$ に拡張し、$C_0(G^0)$-代数とする。
• 群擬似作用が $\mathbb{T}$ のゲージ作用と可換であることを活用し、コアAF代数 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}}^\mathbb{T}$ に作用を誘導する。
• $J_{\mathcal{H}} \rtimes G \cong J_{\mathcal{H} \rtimes G}$ を仮定することで、$\mathcal{O}_{\mathcal{H}} \rtimes G \cong \mathcal{O}_{\mathcal{H} \rtimes G}$ を確立し、群作用の結果を一般化する。
• テンソル巾の $\rho$ の交換子を用いてDoplicher-Roberts代数 $\mathcal{O}_{\rho}$ を構成し、適切な条件下で $\mathcal{O}_{\mathcal{H}}^G \cong \mathcal{O}_{\rho}$ を証明する。
• 離散的で局所有限かつ出力がないグラフ $E$ における群擬似作用にこの枠組みを適用し、$C^*(E) \rtimes G$ が交叉対応の分解により、グラフC*-代数に安定同型であることを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cuntz-Pimsner代数の交叉積 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}} \rtimes G$ が、交叉対応 $\mathcal{H} \rtimes G$ のCuntz-Pimsner代数に同型になるのはどのような条件下か？
• RQ2 不動点代数 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}}^G$ が、$\rho^n$ の交換子を用いて構成されたDoplicher-Roberts代数 $\mathcal{O}_{\rho}$ に同型になるのはいつか？
• RQ3 コンパクトな同型群をもつ群擬似が有向グラフ $E$ に作用するとき、交叉積 $C^*(E) \rtimes G$ の構造にどのような影響を与えるか？
• RQ4 群擬似の同型がコンパクトである場合に、$C^*(E) \rtimes G$ がグラフC*-代数に安定同型であることを示せるか？

主な発見

• Katsuraのイデアルが $J_{\mathcal{H}} \rtimes G \cong J_{\mathcal{H} \rtimes G}$ を満たす場合、交叉積 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}} \rtimes G$ は $\mathcal{O}_{\mathcal{H} \rtimes G}$ に同型である。
• 不動点代数 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}}^G$ は、表現 $\rho$ のテンソル巾の交換子を用いて定義されるDoplicher-Roberts代数 $\mathcal{O}_{\rho}$ に同型である。
• コンパクトな同型群をもつ群擬似 $G$ が、離散的で局所有限かつ出力がないグラフ $E$ に作用するとき、交叉積 $C^*(E) \rtimes G$ はグラフC*-代数に安定同型である。
• コアAF代数 $C^*(E)^\mathbb{T}$ は群擬似作用で保存され、$C^*(E)^\mathbb{T} \rtimes G \cong (C^*(E) \rtimes G)^\mathbb{T}$ はAF代数である。
• $C^*$-対応 $\mathcal{H}_E \rtimes G$ は $C_0(E^0) \rtimes G$ 上で分解され、これは直接和の行列代数と強くモラタ同値であるため、交叉積のグラフモデルの構成が可能である。
• 得られるグラフ代数の頂点数は、$C_0(E^0) \rtimes G$ のスペクトルの濃度に等しく、辺数は最小の $M_{n(i)}$–$M_{n(j)}$-対応の分解に対応する。