[論文レビュー] Groupoid exactness and the weak containment problem

Claire Anantharaman-Delaroche|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Fuzzy and Soft Set Theory被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、内側アーメンのエタール群コアドに適用して、強い無限大におけるアーメニティ、無限大におけるアーメニティ、一様ルーズC*-代数の核的性、およびさまざまなC*-代数の正確性の6つの概念の同値性を確立している。これは、離散群から群コアドの設定へと古典的結果を拡張するものである。本稿では繊維ごとのストーン＝チェホフコンパクト化を導入し、このような群コアドに関して、正確性が無限大におけるアーメニティを意味することを証明しており、弱包含問題の主要な側面を解決している。

ABSTRACT

Our purpose is to study in the setting of locally compact groupoids the analogues of the well-known equivalent definitions of exactness for discrete groups. Our best results are obtained for a class of étale groupoids that we call inner amenable. For locally compact groups this notion coincides with a classical notion of inner amenability. We give examples of such groupoids. Whether all étale groupoids have this property is still unknown. For inner amenable étale groupoids we extend what is known for discrete groups in proving the equivalence of six natural notions of exactness: (1) strong amenability at infinity; (2) amenability at infinity; (3) nuclearity of the uniform algebra of the groupoid; (4) exactness of this C^*-algebra; (5) exactness of the groupoid in the sense of Kirchberg-Wassermann; (6) exactness of the reduced C^*-algebra of the groupoid. We give several illustrations of these results. One of our motivations for this study of exactness is that it plays a crucial role in examining the relationships between the amenability of a groupoid and the fact that its full and reduced C^*-algebras coincide. This is highlighted in the review we give of the results obtained by several authors on this subject. We end our monograph with open questions and an appendix on fibrewise compactifications whose study is needed because our work requires to extend from discrete groups to any étale groupoid G the notion of Stone-Cech compactification on which G acts.

研究の動機と目的

• 離散群から局所コンパクトなエタール群コアドへ正確性理論を拡張すること。
• 群コアドの文脈における、無限大におけるアーメニティ、正確性、および弱包含性の関係を明確にすること。
• 内側アーメンのエタール群コアドに対して、6つの自然な正確性の概念の同値性を確立すること。
• 群コアド作用へのストーン＝チェホフコンパクト化の一般化を可能にする、繊維ごとのコンパクト化の枠組みを提供すること。
• 群コアドにおける正確性と無限大におけるアーメニティの間の含意関係に関する未解決の問いを解決すること。

提案手法

• 離散群における内側アーメニティを一般化した、内側アーメンの局所コンパクト群コアドの概念を導入する。
• 群コアド作用に沿った繊維ごとのストーン＝チェホフコンパクト化を構成し、群コアド作用と整合性を持つように保証する。
• 繊維ごとのコンパクトな繊維空間へのアーメニティ作用を通じて、群コアドの無限大におけるアーメニティを定義し分析する。
• 内側アーメンのエタール群コアドにおいて、一様ルーズC*-代数の核的性と、部分C*-代数の正確性の同値性を確立する。
• 交差積やカーネルの正定性といったC*-代数理論の技法を用いて、正確性とアーメニティの含意関係を証明する。
• 繊維ごとのコンパクト化を用いて、群がそのストーン＝チェホフコンパクト化に作用するという概念を群コアドの文脈へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エタール群コアドに対して、強い無限大におけるアーメニティ、無限大におけるアーメニティ、一様ルーズC*-代数の核的性、および全C*-代数、部分C*-代数、キルヒブルク＝ワッサーマンC*-代数の正確性という6つの正確性概念の同値性は成立するか？
• RQ2 離散群の主要な性質を保つように、内側アーメニティの概念を局所コンパクト群コアドへ拡張できるか？
• RQ3 内側アーメンのエタール群コアドの正確性は、無限大におけるアーメニティを意味するか？ もし成立するならば、どのような条件下で成立するか？
• RQ4 群コアド作用の繊維ごとのストーン＝チェホフコンパクト化は、コンパクト化された空間上での作用のアーメニティとどのように関係するか？
• RQ5 弱包含性の性質は、群コアドにおける正確性とアーメニティを特徴付けるために果たす役割は何か？

主な発見

• 内側アーメンのエタール群コアドにおいて、強い無限大におけるアーメニティ、無限大におけるアーメニティ、一様ルーズC*-代数の核的性、および全C*-代数、部分C*-代数、キルヒブルク＝ワッサーマンC*-代数の正確性という6つの正確性の概念は同値である。
• 本稿では、群コアドがその繊維ごとのストーン＝チェホフコンパクト化に自然に作用することを構成し、離散群がそのストーン＝チェホフコンパクト化に作用するという事実を群コアドの文脈に一般化している。
• 群コアドが連続的切断を持つ繊維ごとのコンパクトな繊維空間へのアーメニティ作用を持つならば、その群コアドは強く無限大においてアーメニティであることが示された。
• 本稿では、内側アーメンのエタール群コアドの例を提示しており、局所コンパクト空間への離散群作用から得られる変換群コアドが含まれる。
• 内側アーメンのエタール群コアドにおいて、正確性が無限大におけるアーメニティを意味することを証明しており、弱包含問題の主要なケースを解決している。
• 付録では、範囲写像が開でない場合であっても、エタールな繊維空間の繊維ごとのストーン＝チェホフコンパクト化が、適切に定義され、-equivariant（-equivariant）であることが確立されている。