[論文レビュー] Groupoid Quantization of Loop Spaces

Christian Saemann, Richard J. Szabo|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 31被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、2-プレクティック多様体の量子化を、そのループ空間の幾何的量子化に還元することで、群擬似代数による量子化手法を提案する。ループ空間はシンプレクティック多様体であるため、この還元が可能となる。Hawkinsの群擬似代数フレームワークを用いることで、M理論の期待に合致する非可換代数が得られ、非可換性の問題は非分離ヒルベルト空間上の可換構造によって解決される。

ABSTRACT

We review the various contexts in which quantized 2-plectic manifolds are expected to appear within closed string theory and M-theory. We then discuss how the quantization of a 2-plectic manifold can be reduced to ordinary quantization of its loop space, which is a symplectic manifold. We demonstrate how the latter can be quantized using groupoids. After reviewing the necessary background, we present the groupoid quantization of the loop space of R^3 in some detail.

研究の動機と目的

• Fuzzy M2-brane funnel がM理論において一貫した量子的解釈を持たないという問題に取り組むこと、特にM2-braneの世界体積がfuzzy three-sphereに極化する現象を扱う。
• ループ空間幾何学を活用することで、シンプレクティック多様体のカテゴライズ化である2-プレクティック多様体に対する体系的な量子化手順を提供すること。
• 従来のヒルベルト空間形式を避ける群擬似代数的手法を用いることで、高次幾何的量子化における非可換性の問題を解決すること。
• 高次幾何的構造（2-プレクティック形式）と、特にBasu-Harvey方程式に現れる弦理論およびM理論の物理的モデルとの橋渡しをすること。
• M5-brane上での開膜ダイナミクスのディラック量子化を含む、既存のM理論計算と整合性を保つこと。

提案手法

• 2-プレクティック形式 $\varpi$ を多様体 $M$ 上で、その自由ループ空間 $\mathcal{L}M$ 上のシンプレクティック形式 $\omega = \mathcal{T}\varpi$ に写像するためのトランスグレッションを適用する。
• 元の2-プレクティック多様体 $M$ 上の前量子ゲルベから、ループ空間 $\mathcal{L}M$ 上の前量子ラインバンドルを構成する。
• Hawkinsの群擬似代数的量子化フレームワークを用い、分離ヒルベルト空間の必要性を回避し、可換性を保ったままループ空間を量子化する。
• 接続1形式 $\vartheta$ が乗法的でないことに起因する失敗を補うために、ねじれ要素を導入し、ねじれ付き極化畳み込み代数を構成する。
• ループ空間上の変形座標代数を導出する：$[\hat{x}^i(\tau), \hat{x}^j(\rho)] = \frac{i}{2}\pi^{ijk}\widehat{\frac{\dot{x}_k(\tau)}{|\dot{x}(\tau)|^2}} \delta(\tau - \rho)$、これは既知のM理論の結果と一致する。
• ポisson型括弧のトランスグレッションと、M理論におけるディラック量子化からの高次補正項との整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2-プレクティック多様体の量子化は、そのループ空間の幾何的量子化に還元可能か？
• RQ2 群擬似代数的量子化は、2-プレクティック構造の高次幾何的量子化に内在する非可換性の問題をどのように解決するか？
• RQ3 得られたループ空間上の変形代数は、M理論の既知の結果（特にM5-brane上での開膜のディラック量子化）を再現するか？
• RQ4 この手法は、M2-braneのBasu-Harvey方程式におけるfuzzy funnel解に対して一貫した量子的記述を提供できるか？
• RQ5 トランスグレッション写像は、$M$ 上の2-プレクティック構造と $\mathcal{L}M$ 上のシンプレクティック構造をどのように結びつけるか？

主な発見

• トランスグレッション写像 $\mathcal{T}$ は、多様体 $M$ 上の2-プレクティック形式 $\varpi$ を、ループ空間 $\mathcal{L}M$ 上のシンプレクティック形式 $\omega = \mathcal{T}\varpi$ に変換し、標準的な幾何的量子化を可能にする。
• ループ空間の群擬似代数的量子化により、変形座標代数 $[\hat{x}^i(\tau), \hat{x}^j(\rho)] = \frac{i}{2}\pi^{ijk}\widehat{\frac{\dot{x}_k(\tau)}{|\dot{x}(\tau)|^2}} \delta(\tau - \rho)$ が得られ、M理論の計算結果と一致する。
• 群擬似代数的量子化により、非分離ヒルベルト空間上の可換構造を用いることで、ゲルベの図式における非可換性が解決される。
• ループ空間上の導出された代数は、Lüstの代数と、以前の結果の統合形と一致し、既知の閉弦およびM理論モデルとの整合性が確認される。
• この手法は、M5-brane上での開膜ダイナミクスのディラック量子化で得られる高次補正項を再現しており、摂動的M理論と整合性があることを示唆する。
• この手法は、$S^3$ を2-プレクティック多様体として量子化するための一貫した枠組みを提供する可能性を有し、fuzzy M2-brane funnel の量子的記述を可能にする。