[論文レビュー] Groupoid symmetry and constraints in general relativity. 1: kinematics

Christian Blohmann, M.C.B. Fernandes+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2010

Advanced Differential Geometry Research参考文献 35被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、一般相対性理論の制約代数が、時空内の空間的超曲面間の微分同相写像からなる群oidsのリー代数的構造と一致することを確立しており、理論の運動論的構造の背後にある深い幾何的対称性を明らかにしている。制約はアインシュタイン方程式から生じるが、それらの代数的関係は力学とは独立した対称性群oidのものと一致することが示されている。

ABSTRACT

When the vacuum Einstein equations are cast in the form of hamiltonian evolution equations, the initial data lie in the cotangent bundle of the manifold M\Sigma of riemannian metrics on a Cauchy hypersurface \Sigma. As in every lagrangian field theory with symmetries, the initial data must satisfy constraints. But, unlike those of gauge theories, the constraints of general relativity do not arise as momenta of any hamiltonian group action. In this paper, we show that the bracket relations among the constraints of general relativity are identical to the bracket relations in the Lie algebroid of a groupoid consisting of diffeomorphisms between space-like hypersurfaces in spacetimes. A direct connection is still missing between the constraints themselves, whose definition is closely related to the Einstein equations, and our groupoid, in which the Einstein equations play no role at all. We discuss some of the difficulties involved in making such a connection.

研究の動機と目的

• 正準一般相対性理論における制約代数の幾何的起源を特定すること。
• 一般相対性理論の制約がハミルトニアン群作用から生じる可能性を検討すること。
• 制約の括弧関係と、空間的超曲面間の微分同相写像の群oidのリー代数的構造との間の構造的対応を確立すること。
• 制約の動力学的起源と、群oidフレームワークにおけるそれらの対称性実現との間の乖離を明確にすること。

提案手法

• 初期データを、コーシー超曲面 Σ 上のリーマン計量の空間の余接 bundle の要素として定式化する。
• ADM形式を用いて、一般相対性理論の制約間のポアソン括弧関係を分析する。
• 時空内の空間的超曲面間の微分同相写像を射とする群oidを構成する。この構成はアインシュタイン方程式とは独立である。
• この群oidのリー代数的構造を導出し、重力の制約との括弧関係を比較する。
• 制約括弧の代数的構造が、群oidのリー代数的括弧関係と正確に一致することを同定する。
• 制約と群oidとの間に直接的な動力学的関係がないことについて議論し、概念的ギャップを強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論の制約代数は、幾何的対称性群oidから生じると解釈可能か？
• RQ2 なぜ一般相対性理論の制約括弧は、超曲面間の時空微分同相写像の群oidのリー代数的括弧と一致するのか？
• RQ3 標準的なゲージ理論と同様に、そのモーメントが一般相対性理論の制約を与えるハミルトニアン群作用が存在するか？
• RQ4 アインシュタイン方程式が制約を定義する役割と、群oidの対称性構造との間の乖離の本質は何か？
• RQ5 制約の動力学的定義と、群oidによる幾何的実現との間のギャップをどのように埋め合わせることができるか？

主な発見

• 一般相対性理論の制約間のポアソン括弧関係は、空間的超曲面間の微分同相写像の群oidのリー代数的括弧関係と同型である。
• 制約の対称性構造は、アインシュタイン方程式に依存しない群oidに符号化されており、独立した幾何的基盤を示唆している。
• ゲージ理論とは異なり、一般相対性理論の制約はハミルトニアン群作用のモーメントとして生じないため、標準的な対称的場の理論とは異なる。
• 制約の代数的構造は、群oidのリー代数的構造によって完全に捉えられており、制約代数の深い幾何的裏付けを示している。
• この構造的一致にもかかわらず、制約と群oidとの間に直接的な動力学的関係はまだ確立されておらず、根本的な概念的ギャップが残っている。