[論文レビュー] Groupoids and inverse semigroups associated to W*-algebras

Anatol Odzijewicz, Aneta Sliżewska|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、W*-代数とバナッハリー群ガロア、逆半群の間の標準的関係を、部分等長作用素の群ガロア 𝒰(ℳ) 及びその複素化 𝒢(ℳ) の構成によって確立する。これらの構造が自然なバナッハ多様体およびリー群ガロア構造を持つことを示し、双対 ℳ* 上の標準的バナッハリー＝ポアソン構造と深い関係にあることを明らかにする。これにより、作用素代数理論がポアソン幾何学および無限次元ハミルトニアン系と結びつく。

ABSTRACT

We investigate the Banach Lie groupoids and inverse semigroups naturally associated to W*-algebras. We also present statements describing relationship between these groupoids and the Banach Poisson geometry which follows in the canonical way from the W*-algebra structure.

研究の動機と目的

• W*-代数からバナッハリー群ガロアおよび逆半群を自然に構成すること。
• W*-代数 ℳ に関連する群ガロア 𝒰(ℳ) および 𝒢(ℳ) の位相的およびバナッハ多様体的構造を調査すること。
• これらの群ガロアと、双対 ℳ* 上の標準的バナッハリー＝ポアソン構造との関係を明確にすること。
• 作用群ガロア 𝒰(ℳ)∗ℳ*+ が ℳ*+ 上のGNSバンドルに忠実な表現をもつことを示すこと。
• さまざまなタイプのW*-代数に対して、行列単位、クリフォード、単生成、CAR半群などの逆半群が 𝒰(ℳ) 内にどのように自然に現れるかを検討すること。

提案手法

• W*-代数 ℳ 内の部分等長作用素の集合として 𝒰(ℳ) を定義し、部分的に可逆な元からなる複素化として 𝒢(ℳ) を定義する。
• GNS構成を用いて、正の連続状態の錐 ℳ*+ に作用する作用群ガロア 𝒰(ℳ)∗ℳ*+ を構成する。
• 𝒰(ℳ) に一様位相と s*(𝒰(ℳ), ℳ*)-位相を導入し、それが位相的群ガロアをなすことを示す。
• 𝒢(ℳ) が射影の格子 ℒ(ℳ) を底多様体とするバナッハリー群ガロアであり、ℳ*+ がバナッハ多様体であることを確立する。
• 双対バンドルの群ガロア代数の双対に、双対 ℳ* を用いて標準的バナッハリー＝ポアソン構造を定義する。
• 作用群ガロア 𝒰(ℳ)∗ℳ*+ がGNS表現の中心化の部分等長作用素の群ガロアに部分群ガロアとして埋め込まれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 W*-代数 ℳ の構造をどのように用いて、バナッハリー群ガロアおよび逆半群を自然に定義できるか。
• RQ2 群ガロア 𝒰(ℳ) および 𝒢(ℳ) に現れる位相的および微分的構造は何か。それらは ℳ の自然な位相とどのように関係するか。
• RQ3 ℳ* 上の標準的バナッハリー＝ポアソン構造は、群ガロア 𝒢(ℳ) および 𝒰(ℳ) の幾何学とどのように関係するか。
• RQ4 作用群ガロア 𝒰(ℳ)∗ℳ*+ 及びそれらのGNSバンドルへの表現は、ℳ の背後にある代数的構造をどのように反映するか。
• RQ5 行列単位、クリフォード、CAR などのクラスの逆半群は、どのように 𝒰(ℳ) 内に自然に現れ、量子代数的文脈でそれらの意義は何か。

主な発見

• W*-代数 ℳ 内の部分等長作用素の群ガロア 𝒰(ℳ) は、一様位相および s*(𝒰(ℳ), ℳ*)-位相の両方の下で位相的群ガロアをなす。
• 𝒰(ℳ) の複素化である群ガロア 𝒢(ℳ) は、底多様体 ℒ(ℳ) を持ち、バナッハリー群ガロアであり、ℳ*+ はバナッハ多様体である。
• 作用群ガロア 𝒰(ℳ)∗ℳ*+ は、定理2.9で示されるように、GNSバンドル 𝔼̅→ℳ*+ に忠実な表現をもつ。
• 作用群ガロア 𝒰(ℳ)∗ℳ*+ は、定理2.10により、GNS表現の中心化の部分等長作用素の群ガロアに部分群ガロアとして埋め込まれる。
• 𝒰(ℳ) 内に現れる逆半群には、行列単位、クリフォード、単生成、CAR半群が含まれる。特にCAR半群は量子物理学において基盤的役割を果たす。
• ℳ* 上の標準的バナッハリー＝ポアソン構造は、自然に 𝒢(ℳ) および 𝒰(ℳ) の群ガロア構造と関連しており、ポアソン幾何学とW*-代数理論との間に深い関係を示している。