[論文レビュー] Groups acting on products of trees, tiling systems and analytic K-theory

Jason Kimberley, Guyan Robertson|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、偶数の次数 ≥4 の2つの同型木の積上に自由かつ推移的に作用する torsion-free な離散部分群（BM群）を、高ランクの Cuntz-Krieger 代数に関連付けることにより研究する。この代数の K-理論に対して明示的な公式を導出し、K₀ = K₁ であることを証明するとともに、単位元の類が torsion であることを示す。次数4の木の場合、すべてのこのような群を完全に分類し、K-群を計算することで、完全な列挙と K-理論不変量を提供する。

ABSTRACT

Let $T_1$ and $T_2$ be homogeneous trees of even degree $\ge 4$. A BM group $Γ$ is a torsion free discrete subgroup of $\aut (T_1) imes \aut (T_2)$ which acts freely and transitively on the vertex set of $T_1 imes T_2$. This article studies dynamical systems associated with BM groups. A higher rank Cuntz-Krieger algebra $\mathcal A(\G)$ is associated both with a 2-dimensional tiling system and with a boundary action of a BM group $Γ$. An explicit expression is given for the K-theory of $\mathcal A(\G)$. In particular $K_0=K_1$. A complete enumeration of possible BM groups $\G$ is given for a product homogeneous trees of degree 4, and the K-groups are computed.

研究の動機と目的

• BM群が同型木の積上に作用する力学系および C*-代数を研究すること。
• 関連する高ランク Cuntz-Krieger 代数の K-理論を計算すること、特に K₀ = K₁ を確立すること。
• 同型木の積上に作用する BM 群を、次数4の場合に完全に分類すること。
• 次数4の場合のすべてのこのような BM 群について、そのアーベル化および K-群を計算すること。
• C*-代数的不変量を介してタイリング系、境界作用、解析的 K-理論の間の関係を確立すること。

提案手法

• BM群 Γ が T₁ × T₂ 上に作用する2次元タイリング系から、高ランク Cuntz-Krieger 代数 A(Γ) を構成する。
• Γ の境界作用から得られるクロス積 C*-代数として A(Γ) を特定し、[RS1] の単純性および分類に関する結果を活用する。
• [RS2] の K-理論的道具立てを用いて、ランク2の場合の K₀(𝒜(Γ)) および K₁(𝒜(Γ)) の明示的表現を導出する。
• T₁ × T₂ の頂点におけるタイプ写像を用いて自己同型を特徴付け、タイプを回転させる自己同型が木の自己同型の積であることを示す。
• 組合せ論的および群論的技法を用いて、次数4の同型木に対するすべての BM 群を列挙する。
• 群の提示および構造的性質を用いて、アーベル化および K-群を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数の次数 ≥4 の同型木の積上に作用する BM 群に対応する C*-代数の K-理論は何か？
• RQ2 このクラスの C*-代数において、K₀ 群は K₁ 群とどのように関係しているか？
• RQ3 次数4の同型木の積上に作用するすべての BM 群は完全に分類可能か？
• RQ4 このような代数において、K₀(𝒜(Γ)) 内の単位元の類は torsion 要素か？
• RQ5 次数4の場合の各 BM 群のアーベル化および K-理論の構造は何か？

主な発見

• 次数4の同型木の積上に作用するすべての BM 群に対して、52個の異なる群の完全なリストが与えられ、明示的な提示が与えられている。
• 関連する C*-代数の K-理論は、すべてのこのような群に対して K₀(𝒜(Γ)) = K₁(𝒜(Γ)) を満たす。
• 命題 5.4 で示されるように、K₀(𝒜(Γ)) 内の単位元の類は torsion 要素である。
• 次数4の場合の52個の BM 群に対して、K-群が明示的に計算され、表形式でまとめられており、各群について K₀ および K₁ の値が与えられている。
• C*-代数 𝒜(Γ) は純粋に無限大で、単純で、単位的で、核的であり、したがって K-理論によって完全に分類される。
• 群の作用から導かれるタイリング系は、境界作用からのクロス積と同型な Cuntz-Krieger 代数を生成する。