[論文レビュー] Groups in simple theories

Frank Olaf Wagner|ArXiv.org|Apr 25, 1997

Advanced Topology and Set Theory参考文献 5被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、単純な一階理論における定義可能群の基礎的構造的性質を確立し、このような群が共役にまで至る鎖条件を満たし、1-基本的な単純群が有限-アーベル-有限であることを示している。安定群論からの結果を単純な設定へと拡張し、小ささの条件下で内部商が存在することを証明するとともに、超単純な場合にBerline-Lascar分解が成り立つことを示している。

ABSTRACT

Groups definable in simple theories retain the chain conditions and decomposition properties known from stable groups, up to commensurability. In the small case, if a generic type of G is not foreign to some type q, there is a q-internal quotient. In the supersimple case, the Berline-Lascar decomposition works. One-based simple groups are finite-by-abelian-by-finite.

研究の動機と目的

• この論文の目的は、安定群論から得られる核心的な構造的結果を、単純理論における群へと拡張することである。
• 単純理論における鎖条件（icc、ucc）の振る舞いを調査し、それが共役にまで至るという形で成り立つことを示している。
• 特に、ある一般型が他の型に対して外的でない場合に、内部商が存在する条件を確立している。
• 超単純な場合に、Berline-Lascar分解が成り立つことを証明している。
• 1-基本的な単純群を分類し、それが有限-アーベル-有限であることを示している。

提案手法

• PillayおよびKim-Pillayの一般型と安定化子の理論に基づき、局所的ランク D(⋅, ϕ, k) を用いている。
• コンパクト性およびErdös-Radoの定理を用いて、タイプ定義可能部分群の指数を有界化している。
• 標準基底と分岐独立性を用いて、1-基本的群における定義可能部分群を分析している。
• 共役とSchlichtingの定理を用いて、一様に共役な部分群族と同型な不変部分群を構成している。
• 群におけるLascarの不等式を用いて、中心化部分群と共役類のUランクを分析している。
• 1-基本的構造では標準基底が代数的閉包内にあるという事実を活用し、定義可能部分群の制御を可能としている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純理論において定義可能な群の一般型が、どのような条件下で内部商を導くか？
• RQ2 超単純理論における群に対して、Berline-Lascar分解が成り立つか？
• RQ3 1-基本性と単純性が群に課す構造的制約は何か？
• RQ4 単純理論において、一様に定義可能な部分群族の共通部分群に関する鎖条件は、共役にまで至る形で回復可能か？
• RQ5 単純理論における定義可能単純群は、必ずしも単純であるのか？

主な発見

• 単純理論において、先行する部分群の指数が有界でない降鎖のタイプ定義可能部分群の列の長さは |T|+ より短い。
• 群が一様に共役な一様に定義可能な部分群族と同型であるのは、それらの共通部分群の指数が一様に有界である場合に限る。
• 小さい場合に、一般型が型 q に対して外的でないならば、q-内部商が存在する。
• 超単純な場合に、群の可除部分群とねじれ部分群へのBerline-Lascar分解が成り立つ。
• 単純理論における1-基本的群は、導出部分群が有限で、適切な有限指数部分群において中心的であるという意味で、有限-アーベル-有限である。
• 単純理論において、有限Uランクの定義可能単純群は、非自明なタイプ定義可能正規部分群を持たない限り、単純である。