[論文レビュー] Groups of diffeomorphisms for manifolds with boundary and hydrodynamics

Steve Shkoller|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 1999

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、体積保存微分同相群の部分群における新しい弱い右不変計量を導入することにより、境界を有するコンパクトなリーマン多様体上での非圧縮性平均化オイラー方程式の滑らかな解の存在と一意性を確立する。s > n/2 + 2 において、滑らかな粘性係数の極限とH^s位相における連続的な弱い曲率を示し、新しい計量が断面曲率の符号を変えることでオイラー流の安定化を実現することを示している。

ABSTRACT

This paper is devoted to the geometric analysis of the incompressible averaged Euler equations on compact Riemannian manifolds with boundary. The equation also coincides with the model for a second-grade non-Newtonian fluid. We study the analytical and geometrical properties of the Lagrangian flow map. We prove existence and uniqueness of smooth-in-time solutions for initial data in $H^s$, $s > n/2 +1$ by establishing the existence of smooth geodesics of a new weak right invariant metric on new subgroups of the volume-preserving diffeomorphism group. We establish smooth limits of zero viscosity for the second-grade fluids equations even on manifolds with boundary. We prove that the weak curvature operator of the weak invariant metric is continuous in the $H^s$ topology for $s> n/2+2$, thus proving existence and uniqueness for the Jacobi equation. We show that this new metric stabilizes the Lagrangian flow of the original Euler equations by changing the sign of the sectional curvature.

研究の動機と目的

• 境界を有するコンパクトなリーマン多様体上での非圧縮性平均化オイラー方程式の幾何学的・解析的構造を分析すること。
• s > n/2 + 1 における H^s 初期データに対して、時間に関して滑らかな解の存在と一意性を確立すること。
• 体積保存微分同相群の部分群における新しい弱い右不変計量の下で、滑らかな測地線の存在を証明すること。
• 境界を有する多様体上での第二級流体方程式のゼロ粘性係数における滑らかな極限を示すこと。
• s > n/2 + 2 における H^s 位相で弱い曲率作用素の連続性を示し、そのジャコビ方程式への影響を明らかにすること。

提案手法

• 体積保存微分同相群の部分群における新しい弱い右不変計量を導入し、平均化オイラー方程式をモデル化する。
• 幾何解析的手法を用いて、ラグランジュ的流れ写像が新しい計量の下で測地線として記述されることを研究する。
• s > n/2 + 1 における H^s で滑らかな測地線の構成により、滑らかな解の存在と一意性を確立する。
• s > n/2 + 2 における H^s 位相で弱い曲率作用素の連続性を証明し、ジャコビ方程式の解析を可能にする。
• 新しい計量における断面曲率の符号を分析し、元のオイラー流の安定化を示す。
• 第二級非ニュートン流体方程式の枠組みを物理的モデルとして用い、幾何的構成の妥当性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界を有するコンパクトなリーマン多様体上での非圧縮性平均化オイラー方程式が、新しい幾何的構造のもとで滑らかな解を有するか。
• RQ2 新しい弱い右不変計量がオイラー方程式のラグランジュ的流れの安定性にどのように影響するか。
• RQ3 s > n/2 + 2 におけるソボレフ空間 H^s における新しい計量の弱い曲率作用素の正則性はいかほどか。
• RQ4 境界を有する多様体上での第二級流体方程式の解が、粘性係数がゼロに近づく際にオイラー方程式に滑らかに収束するか。
• RQ5 新しい計量が断面曲率の符号を変えることで、元のオイラー方程式の力学的安定化を実現できるか。

主な発見

• s > n/2 + 1 における H^s 初期データに対して、新しい弱い右不変計量の下で滑らかな測地線を用いた構成により、滑らかな解の存在と一意性が保証される。
• s > n/2 + 2 における H^s 位相で、新しい計量の弱い曲率作用素は連続的であり、ジャコビ方程式の適切な定義を保証する。
• 境界を有する多様体上での第二級流体方程式に対して、ゼロ粘性係数における滑らかな極限が確立され、平均化オイラー方程式への収束が確認される。
• 新しい計量が断面曲率の符号を変えることで、元のオイラー方程式のラグランジュ的流れが安定化される。
• 幾何的枠組みは第二級非ニュートン流体の一貫したモデルを提供し、境界を有する多様体上での非圧縮流れの解析を拡張する。