[論文レビュー] Groups of motions and mechanics I: point mechanics

D. H. Delphenich|ArXiv.org|Aug 13, 2007

Dynamics and Control of Mechanical Systems参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、可積分な力学系の対称性として作用する変換群を用いた、古典的点力学の幾何学的枠組みを提案する。力学状態の可積分性条件から運動方程式を導出し、機械的構成則を成分関数として特定することで、変分原理を特別な場合として一般化し、ジャンボルダの幾何学的構造上での対称性に基づく力学の統一的枠組みを構築する。

ABSTRACT

It is shown that physical mechanics for pointlike bodies can be effectively modeled in terms of the action of transformation groups that act as symmetries of the solutions of systems of differential equations that describe the integrability of dynamical states. The equations of motion are then obtained from these integrability equations for the dynamical states. It is also observed that the functions that define the components of a dynamical state represent a set of mechanical constitutive laws. The variational formulation of mechanics is shown to be a specialization of these principles.

研究の動機と目的

• 可積分な力学系の対称性として作用する変換群に基づく、古典的点力学の幾何学的定式化を構築すること。
• 運動方程式を直接的に変分原理から導くのでなく、力学状態の可積分性条件から導出すること。
• 力学状態の成分を機械的構成則と同一視することで、材料応答のより深い幾何学的解釈を提供すること。
• 標準的な変分原理による力学の定式化が、このより広範な枠組み内での特別な場合としてどのように現れるかを示すこと。

提案手法

• 力学状態を記述する微分方程式系の解空間に、リー群の変換作用を対称性として用いる。
• ジャンボルダ形式における曲率に類似したテンソルの消滅から、力学状態の可積分性条件を導出する。
• 力学状態が群作用に関して局所的に可積分であることを要求することで、運動方程式を導出する。
• 力学状態の成分を、連続体力学における材料法則に類似した構成関数として解釈する。
• 微分方程式の高階導関数および対称性を体系的に取り扱うために、ジャンボルダ束の幾何学を用いる。
• 対称性群がジャンボルダ束上のラグランジアン1形式を保存する場合、変分原理が特別な場合として回復される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 点力学の運動方程式を、変分原理ではなく力学状態の可積分性条件からどのように導出できるか？
• RQ2 幾何学的力学の枠組みにおいて、変換群が力学系の対称性をどのように定義するか？
• RQ3 力学状態の成分関数は、機械的系における構成則とどのように関係するか？
• RQ4 標準的な変分原理による力学の定式化が、この枠組み内でどのような意味で特別な場合として現れるか？
• RQ5 点力学における対称性、可積分性、運動方程式の統一的幾何的構造は、どのようなものか？

主な発見

• 点力学の運動方程式は、あらかじめ作用原理からではなく、力学状態の可積分性条件から導出される。
• 微分方程式の解空間に作用する変換群が、力学の生成を担い、群作用が保存則を符号化する。
• 力学状態の成分が機械的構成則を表すことが示され、材料応答の幾何学的解釈が可能になる。
• 対称性群がジャンボルダ束上のラグランジアン1形式を保存する場合、標準的な変分原理による力学の定式化が特別な場合として回復される。
• ジャンボルダ束と対称性群の言語を通じて、ラグランジュ的およびハミルトニアン的定式化を一般化する、力学の統一的幾何的構造が提供される。
• 本アプローチにより、可積分性、対称性、力学の間のより深い関係が確立され、場の理論や相対論的系への応用が可能となる。