[論文レビュー] Groups of quasi-invariance and the Pontryagin duality

Saak Gabriyelyan|ArXiv.org|Dec 9, 2008

Advanced Topology and Set Theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、局所コンパクト群上の測度を用いて定義される、準不変性の群（QI群）というクラスのポーランド群を導入する。QI群はσ-コンパクトであることが示され、bidualがQI群でないモノシティックで非局所的準凸的QI群$mathbb{T}^{H}_{2}$の構成がなされ、Pontryagin双対性が非局所コンパクトな状況でQI性を保存しないことが示された。

ABSTRACT

A Polish group $G$ is called a group of quasi-invariance or a QI-group, if there exist a locally compact group $X$ and a probability measure $μ$ on $X$ such that 1) there exists a continuous monomorphism of $G$ to $X$, and 2) for each $g\in X$ either $g\in G$ and the shift $μ_g$ is equivalent to $μ$ or $g ot\in G$ and $μ_g$ is orthogonal to $μ$. It is proved that $G$ is a $σ$-compact subset of $X$. We show that there exists a quotient group $\mathbb{T}^H_2$ of $\ell^2$ modulo a discrete subgroup which is a Polish monothetic non locally quasi-convex (and hence nonreflexive) pathwise connected QI-group, and such that the bidual of $\mathbb{T}^H_2$ is not a QI-group. It is proved also that the bidual group of a QI-group may be not a saturated subgroup of $X$.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト群の部分群としてのQI群（準不変性群）を定義し、測度論的不変性の性質を研究すること。
• 非局所コンパクトな位相群における準凸性、双対性、Pontryagin双対性の関係を調査すること。
• 双対群がQI群でない具体例を構成し、双対性のもとでのQI性の保存が成り立たないことを示すこと。
• T-系列と計量構造が双対群および二重双対群のポーランド群位相を定義する役割を明確にすること。

提案手法

• QI群を、局所コンパクト群$X$に埋め込まれたポーランド群$G$として定義し、各$g \in X$に対して、$g \in G$のとき測度の平行移動$\mu_g$が$\mu$と同値、$g \notin G$のとき直交するようにする。
• Mackey-Weilの定理を用いて、測度の準不変量の集合$E(\mu)$の構造を、局所コンパクト性とポーランド群位相と関連付ける。
• $H$を離散部分群として、商群$\mathbb{T}^{H}_{2} = \ell^2 / H$を構成し、これがポーランド群、モノシティック、経路的に連結で、非局所的準凸的QI群であることを示す。
• $\mathbb{T}^\infty$および$G_p$における$T$-系列と計量構造を用いて、ポーランド群位相を定義し、収束性と双対性を分析する。
• コンパクト開位相と自然な準同型$\alpha_G: G \to G^{\wedge\wedge}$を用いて、双対群および二重双対群を分析する。
• $G_p^\wedge = G_0^\wedge$および$G_p^{\wedge\wedge} = G_0$を示すが、$G_0$はQI群でないため、二重双対がQI性を保たないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Pontryagin双対性の定理は、非局所コンパクト群、特にQI群にまで拡張可能か？
• RQ2 QI群の二重双対がQI群でないことがあるか？
• RQ3 QI群の二重双対は、常に周囲の局所コンパクト群$X$の飽和部分群であるか？
• RQ4 双対群および二重双対群において、局所的準凸性とQI性の関係は何か？
• RQ5 モノシティックで、経路的に連結で、非局所的準凸的なQI群を構成可能か？

主な発見

• $\mathbb{T}^{H}_{2} = \ell^2 / H$は、ポーランド群、モノシティック、経路的に連結で、非局所的準凸的QI群である。
• $\mathbb{T}^{H}_{2}$の二重双対はQI群でない。これはQI性が二重双対性のもとで保存されないことを示している。
• QI群の二重双対は、周囲の局所コンパクト群$X$の飽和部分群であるとは限らない。
• $G_p^\wedge$は$G_0^\wedge$に同型であり、$G_p^{\wedge\wedge} = G_0$であるが、$G_0$はQI群でない。
• 各$\delta > 0$に対して、極集合$U_\delta^\triangleright$は、ある$k$に対して$\phi_p(A(k,0))$に含まれる。これは群表現における係数の均一な有界性を示唆する。
• $\alpha_p: G_p \to G_p^{\wedge\wedge} = G_0$の自然な写像は、稠密な像を持つ。$G_p^\wedge$、$G_0^\wedge$、$G_0$はすべて双対的であるが、$G_p$は局所的準凸的でない。