[論文レビュー] Groups of small homological dimension and the Atiyah Conjecture

Peter H. Kropholler, Peter A. Linnell+1 more|ArXiv.org|Jan 23, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、L²ベッチ数に関するアティヤ予想を満たすホモロジー次元 ≤1 の群が局所自由群であることを確立し、既知の結果（局所自由群はホモロジー次元 ≤1 を持つ）の逆を示している。さらに、コhomological次元 ≤2 である有限生成の初等可解群は、BG に対して有限の2次元モデルをもち、自明な ℤG-加群 ℤ に対して2次元の分解を持つことを示している。

ABSTRACT

A group G has homological dimension less or equal to 1 if it is locally free. We prove the converse provided that G satisfies the Atiyah Conjecture about L^2-Betti numbers. We also show that a finitely generated elementary amenable group G of cohomological dimension less or equal to 2 possesses a finite 2-dimensional model for BG and in particular that G is finitely presented and the trivial ZG-module Z has a 2-dimensional resolution by finitely generated free ZG-modules.

研究の動機と目的

• アティヤ予想を仮定することで、既知の事実（局所自由群はホモロジー次元 ≤1 を持つ）の逆を確立すること。
• 群の提示および幾何的モデルを用いて、コhomological次元 ≤2 である有限生成の初等可解群を特徴付けること。
• このような群が有限の2次元分類空間 BG を持ち、自明な ℤG-加群 ℤ に対して2次元の分解を持つことを示すこと。
• アティヤ予想の下で、ホモロジー代数、フォン・ノイマン次元、群論的性質の間の相互作用を調査すること。

提案手法

• L²ベッチ数に関するアティヤ予想を用いて、群のフォン・ノイマン代数 𝒩(G) 上の加群のフォン・ノイマン次元を制御する。
• 補題4を適用し、𝒩(G) とのテンソル積をとったときの商が次元0である射影加群が有限生成であることを示す。
• 補題5を用いて、有限フォン・ノイマン次元を持つ加群から、商が次元0である有限生成部分加群を抽出する。
• スタリングスの結果（コhomological次元1の群は自由群、FP条件を満たす場合）を応用する。
• ギルデンフュルズの定理（コhomological次元2の可解群に対する1関係式提示）を適用する。
• ホモロジーがコロイムに可換することを用い、有限生成部分群から得た結果を全体の群へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモロジー次元 ≤1 である群が、必ずしも局所自由群であるための条件は何か？
• RQ2 アティヤ予想は、低ホモロジー次元を持つ群の群論的構造を特徴付けるために利用可能か？
• RQ3 コhomological次元 ≤2 である有限生成の初等可解群の幾何的・代数的構造は何か？
• RQ4 このような群は BG に対して有限の2次元モデルをもつのか？ そしてこれはその分解に何を意味するのか？
• RQ5 𝒩(G) 上の加群のフォン・ノイマン次元は、射影加群の有限生成性をどのように制約するか？

主な発見

• アティヤ予想を満たすホモロジー次元 ≤1 の群は、局所自由群でなければならない。これは、既知の事実（局所自由群はホモロジー次元 ≤1 を持つ）の逆を示している。
• コhomological次元 ≤2 である有限生成の初等可解群に対して、BG に対して有限の2次元モデルが存在し、群は有限提示可能であることを示している。
• 自明な ℤG-加群 ℤ は、有限生成自由 ℤG-加群による2次元の分解を持つ。これは強い有限性条件である。
• このような群は、可算的だが有限生成でない場合、ℚ の非巡回部分群であるか、ある n ∈ ℤ に対して ⟨x,y | yxy⁻¹ = xⁿ⟩ という提示を持つ。
• 証明は、アティヤ予想により、𝒩(H) 上の有限フォン・ノイマン次元を持つ射影加群が有限生成であることを保証し、スタリングスの定理の適用を可能としている。
• ホモロジー次元 ≤2 である初等可解群はメタアーベル群であり、その構造はヒルシュ長と G/N によるフィッティング部分群への作用によって制約される。