[論文レビュー] Groupwise Maximin Fair Allocation of Indivisible Goods

Siddharth Barman, Arpita Biswas+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2017

Game Theory and Voting Systems参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、分割不能な財に対する従来のMMSより強い公平性概念であるGroupwise Maximin Share (GMMS)割り当てを導入し、全グループだけでなく、すべての部分集合に対しても公平性を保証する。著者らは、加法的評価関数のもとで1/2-GMMS割り当てが常に存在することを証明し、実験では平均近似係数0.98を達成する多項式時間アルゴリズム（EFL）を提示した—理論的最悪ケース境界の0.5よりも著しく優れている。

ABSTRACT

We study the problem of allocating indivisible goods among n agents in a fair manner. For this problem, maximin share (MMS) is a well-studied solution concept which provides a fairness threshold. Specifically, maximin share is defined as the minimum utility that an agent can guarantee for herself when asked to partition the set of goods into n bundles such that the remaining (n-1) agents pick their bundles adversarially. An allocation is deemed to be fair if every agent gets a bundle whose valuation is at least her maximin share. Even though maximin shares provide a natural benchmark for fairness, it has its own drawbacks and, in particular, it is not sufficient to rule out unsatisfactory allocations. Motivated by these considerations, in this work we define a stronger notion of fairness, called groupwise maximin share guarantee (GMMS). In GMMS, we require that the maximin share guarantee is achieved not just with respect to the grand bundle, but also among all the subgroups of agents. Hence, this solution concept strengthens MMS and provides an ex-post fairness guarantee. We show that in specific settings, GMMS allocations always exist. We also establish the existence of approximate GMMS allocations under additive valuations, and develop a polynomial-time algorithm to find such allocations. Moreover, we establish a scale of fairness wherein we show that GMMS implies approximate envy freeness. Finally, we empirically demonstrate the existence of GMMS allocations in a large set of randomly generated instances. For the same set of instances, we additionally show that our algorithm achieves an approximation factor better than the established, worst-case bound.

研究の動機と目的

• MMSの限界を是正すること。MMSは個々の公平性閾値を満たしても、満足のいかない割り当てを許容する可能性がある。
• 全グループだけでなく、すべてのエージェント部分集合に対しても公平性を保証する、より強い公平基準—GMMSを定義すること。
• 加法的評価関数の下で、正確および近似GMMS割り当ての理論的存在結果を確立すること。
• 近似GMMS割り当てを計算するための効率的な多項式時間アルゴリズムを設計し、その性能を実験的に評価すること。
• 実際の状況においてGMMS割り当てが存在するか、また、実世界に類似したインスタンスにおいて理論的最悪ケース境界と比べてどのように振る舞うかを調査すること。

提案手法

• GMMSを、任意のエージェント部分集合に制限した際、各エージェントがその最大ミニマムシェア（maximin share）以上を受けることを要件として定義し、すべての部分集合にわたる事後公平性を保証する。
• 反復的バンドル割り当てに基づく新しいアルゴリズム的枠組みを用いて、加法的評価関数のもとで1/2-GMMS割り当てが常に存在することを証明する。
• EFL（Envy-Freeness with Lexicographic improvement）アルゴリズムを提案する。これは、公平性制約を維持しながら、グリーディに財をエージェントに割り当てる多項式時間手法である。
• 辞書的優位性の議論を用いて、EFLアルゴリズムの探索空間における特定の割り当ての最大性を証明する。
• ガウス分布および一様分布の両方を用いた、エージェント数と財数が変化する1000件のランダムに生成されたインスタンスに対して、広範な実験的評価を実施する。
• EFLアルゴリズムの性能を理論的最悪ケース境界と比較し、正確なGMMS計算と比較して実行時間効率を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全グループだけでなく、すべてのエージェント部分集合に対しても公平性を保証するMMSより強い公平性概念は存在するか？
• RQ2 正確なGMMS割り当てはどのような条件下で存在するのか？特定の設定においてその存在を証明できるか？
• RQ3 非自明な近似保証を持つ近似GMMS割り当てを計算する多項式時間アルゴリズムを設計できるか？
• RQ4 提案されたアルゴリズムの性能は、実際の状況において理論的最悪ケース境界と比べてどのように振る舞うか？
• RQ5 ランダムインスタンスにおいてGMMS割り当ては実験的に実現可能か？すべてのテストケースで存在するのか？

主な発見

• GMMSは、全エージェント集合だけでなく、すべての部分集合に対しても公平性が保たれるため、MMSよりも厳密に強い公平性概念である。
• 本稿では、加法的評価関数のもとで1/2-GMMS割り当てが常に存在することを証明し、理論的存在結果を確立した。
• 提案されたEFLアルゴリズムは、多項式時間で1/2-GMMS割り当てを計算でき、実用的展開に適した効率的解決策を提供する。
• 実験的に、1000件のランダムインスタンスにおいてEFLアルゴリズムは平均近似係数0.98を達成した—理論的最悪ケース境界の0.5よりも著しく優れている。
• 1000件のランダムに生成されたインスタンスすべてでGMMS割り当てが見つかり、特にSOP（同じ順序の好み）でないケースにおいても強い実験的実現可能性を示した。
• EFLアルゴリズムは正確なGMMS計算よりも約10^7倍速く、大規模応用に実用的である。