[論文レビュー] Growing network with heritable connectivity of nodes

S. N. Dorogovt︠s︡ev, J. F. F. Mendes+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2000

Complex Network Analysis Techniques被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、優先的接続と継承可能な接続性を組み合わせた成長ネットワークモデルを提案する。新規ノードは親ノードの接続性の一部を継承する。正確な解法により、多フラクタル的接続性分布が明らかとなり、べき則的尾部 ∼q⁻√²lnq を示す。ここで √2 ≈ 1.414 < 2 であるため、一次モーメントが発散し、複数のスケーリング領域にわたるサイズ依存のスケーリングが生じる。これは √t まで広いスケーリング領域を有し、√t を超える領域では指数的尾部を示す。

ABSTRACT

We propose a model of a growing network, in which preferential linking is combined with partial inheritance of connectivity (number of incoming links) of individual nodes by new ones. The nontrivial version of this model is solved exactly in the limit of a large network size. We demonstrate, that the connectivity distribution depends on the network size, $t$, in a {\em multifractal} fashion. When the size of the network tends to infinity, the distribution behaves as $\sim q^{-γ}\ln q$, where $γ=\sqrt{2}$. For the finite-size network, this behavior is observed for $1 \ll q \lesssim \exp(\ln ^{1/2}t) $ but the multifractality is determined by the far wider part, $1 \ll q \lesssim \sqrt t$, of the distribution function.

研究の動機と目的

• 同等の誕生条件を仮定するのを越えて、先行ノードから接続性を継承するネットワーク成長のモデル化。
• 継承可能な接続性が成長ネットワーク内の接続性分布に与える影響の調査。
• 大規模ネットワーク極限における接続性分布の正確な漸近的形の導出。
• 分布の多フラクタル的性質とネットワークサイズおよび初期条件への依存性の分析。
• モーメントのスケーリング行動とサイズ依存のスケーリング領域の出現の特定。

提案手法

• 時間に依存する分布からランダムに選ばれた入力リンク数を有する新規ノードを追加する、有向リンクを有する成長ネットワークモデルを構築する。
• 優先的接続が適用される：新規リンクがノードに接続する確率は、そのノードの現在の接続性に比例する。
• 離散時間ダイナミクスを用い、連続近似を避けることで、母関数および逆メリン変換を用いた正確な解法が可能になる。
• 母関数アプローチにより、有限時間 t における接続性分布 Π(t; q, k) を導出でき、初期接続性 k に明示的な依存性を持つ。
• 母関数の漸近的解析により、分布の正確な t → ∞ における極限が得られ、多フラクタル的スケーリングが明らかになる。
• 積分の鞍点評価を用いて、大きな q における尾部の振る舞いを導出し、√t を超える領域では指数的減衰が示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 成長ネットワークモデルに継承可能な接続性を組み込むと、得られる接続性分布にどのような影響を与えるか？
• RQ2 優先的接続と継承が共に存在する状況で、大規模ネットワーク極限における接続性分布の正確な形は何か？
• RQ3 接続性分布は多フラクタル的スケーリングを示すか？ もしそうならば、どの範囲の接続性で成立するか？
• RQ4 接続性分布のモーメントはネットワークサイズにどのようにスケーリングするか？ これにより分布の尾部の振る舞いにどのような含意が生じるか？
• RQ5 初期接続性分布が最終的な接続性分布にどの程度影響を及ぼすか？

主な発見

• 活性ノード（q > 0）の接続性分布は、1 ≪ q ≲ exp(ln¹/²t) の範囲でべき則的形 ∼q⁻√²lnq を示し、指数 √2 ≈ 1.414 < 2 である。
• 無限大ネットワーク極限において、接続性分布の一次モーメントが発散することから、リンクの大部分が少数のノードに集中していることが示唆される。
• 分布は多フラクタル的であり、広いスケーリング領域が 1 ≪ q ≲ √t に延びており、この範囲ではネットワークサイズ t に依存するが初期条件には依存しない。
• q ≳ √t の領域では、分布が指数的に減少し、尾部の振る舞いは Π(t; q, k) ≈ (1/Γ(k)t³/²)( (q−k)/√t )ᵏ exp(−q/√t) で与えられる。
• 指数的尾部に属するノードの総数は、初期ノード数 t₀ に比例し、尾部が初期条件によって支配されていることが示される。
• モーメントのスケーリングは非線形的であり、多フラクタル構造のため、指数がモーメントの順序に依存する。