[論文レビュー] Growth conditions and inverse producing extensions

Cătălin Badea, Veronika Müller|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2005

Holomorphic and Operator Theory参考文献 34被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、バナッハ代数の元および作用素が、逆作用素のノルムの成長が制御された可逆拡張をもつ条件を確立する。アレンズおよびダグラスの拡張定理を精緻化し、超積構成を用いることで、2つの未解決問題を解決する：$\varepsilon(\mathbb{T})$-部分スカラー作用素を成長条件によって特徴づけること、およびベルリング型の成長条件を満たす作用素がビショップの性質$(\beta)$をもつことを示すことである。これらの結果は、可算スペクトルまたはカーレソン集合スペクトルをもつヒルバート空間作用素へと拡張可能である。

ABSTRACT

We study the invertibility of Banach algebras elements in their extensions, and invertible extensions of Banach and Hilbert space operators with prescribed growth conditions for the norm of inverses. As applications, the solutions of two open problems are obtained. In the first one we give a characterization of E(T)-subscalar operators in terms of growth conditions. In the second one we show that operators satisfying a Beurling-type growth condition possess Bishop's property beta. Other applications are also given.

研究の動機と目的

• 作用素のべきの逆作用素のノルムに関する成長条件を用いて、$\varepsilon(\mathbb{T})$-部分スカラー作用素を特徴づけること。
• $\|T^n\|$ および $m(T^n)^{-1}$ についてベルリング型の成長条件を満たす作用素がビショップの性質$(\beta)$をもつことを証明すること。
• アレンズおよびダグラスの拡張定理を、$\|S^{-n}\|$ の所定の成長率をもつ可逆拡張を構成することによって一般化すること。
• べき有界作用素で、逆作用素ノルムの指数的でない成長を示すものについて、ユニタリ作用素に類似する条件を確立すること。
• スペクトルがカーレソン集合に含まれるヒルバート空間の収縮作用素で、逆作用素ノルムが多項式的に成長するものについて、等長写像であることを示すこと。

提案手法

• 可換単位元付きバナッハ代数において、$\|u^{-k}\|$ の成長が制御された可逆拡張のアレンズの構成を精緻化する。
• ミュラー（2000年）の手法を用いて、バナッハ空間作用素 $T$ をより大きな空間 $Y$ 上の可逆拡張 $S$ に持ち上げる。このとき $\|S^n\| \leq \|T^n\|$ を保つ。
• $Y$ を $L_p(X)$ 空間の超積の部分空間の商として構成し、$X$ がヒルバート空間であれば $Y$ もヒルバート空間であることを保証する。
• バティ・イーツの手法を用いて、$\pi$ を介して $X$ を $Y$ に同型に埋め込み、$T$ が $S|_{\pi(X)}$ に類似することを示す。
• $\|S^{-n}\| \leq K \exp(n^{s+\varepsilon})$ かつ $s < 1/2$ という条件を用い、ゼマネク（1980年）の結果から、すべての $p \in \mathbb{Z}$ に対して $\|S^p\| \leq M$ を導出する。
• スペクトルの不変性およびカーレソン集合の性質を活用し、$S$ がユニタリであることを結論づけ、したがって $T$ が等長写像であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\|T^n\|$ および $m(T^n)^{-1}$ に関する成長条件によって、$\varepsilon(\mathbb{T})$-部分スカラー作用素を特徴づけられるか？
• RQ2 $\sum_{n=1}^\infty \frac{\log \max(\|T^n\|, m(T^n)^{-1})}{n^2} < \infty$ を満たす作用素はビショップの性質$(\beta)$をもつのか？
• RQ3 $\|T^n\|$ および $m(T^n)^{-1}$ についてどのような条件下で、バナッハ空間上のべき有界作用素がユニタリ作用素に類似するか？
• RQ4 スペクトルがカーレソン集合に含まれ、$m(T^n)^{-1} \leq Cn^s$ を満たすヒルバート空間の収縮作用素は等長写像であることを示せるか？
• RQ5 作用素 $T$ の可逆拡張 $S$ について、$\|S^{-n}\|$ にどのような成長条件を課すと、$T$ が $\varepsilon(\mathbb{T})$-部分スカラーとなるか？

主な発見

• バナッハ空間上の作用素 $T$ が $\|T^n\| \leq M$ かつ $m(T^n)^{-1} \leq C e^{n^s}$（$s < 1/2$）を満たすとき、$T$ は $\varepsilon(\mathbb{T})$-部分スカラーである。
• $\sum_{n=1}^\infty \frac{\log \max(\|T^n\|, m(T^n)^{-1})}{n^2} < \infty$ を満たす作用素はビショップの性質$(\beta)$をもつ。
• ヒルバート空間上のべき有界作用素 $T$ が $m(T^n)^{-1} \leq C e^{n^s}$（$s < 1/2$）かつ可算スペクトルをもつとき、$T$ はユニタリ作用素に類似する。
• スペクトル $\sigma_{\text{ap}}(T)$ がカーレソン集合であり、$m(T^n)^{-1} \leq C n^s$ を満たすヒルバート空間の収縮作用素 $T$ は等長写像である。
• このような $T$ に対して、可逆拡張 $S$ は $\|S^{-n}\| \leq K n^{s'}$（ある $s' \geq 0$）を満たし、$S$ はユニタリであるため、$T$ は等長写像である。
• 構成法により $\|S^n\| \leq \|T^n\|$ および $\|S^{-1}\| \leq \sqrt{2}/m(T)$ が保証され、拡張空間上のノルムを修正することで等長埋め込みを維持する。