[論文レビュー] Growth in finite simple groups of Lie type

László Pyber, Endre Szabó|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Jan 25, 2010

Advanced Topology and Set Theory参考文献 3被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、リー型の有限単純群における生成集合の乗算による成長が速やかに進行することを確立し、Lieランクにのみ依存するある $\varepsilon > 0$ に対して $|A^3| \gg |A|^{1+\varepsilon}$ が成り立つ、または $A^3 = G$ であることを証明する。この結果は、このような群のカイリー図の多対数的直径の上限を与えるものであり、有界ランクの族においてババイの予想を裏付ける。また、平方自由な $m$ に対して $SL(d,\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ のカイリー図がZariski稠密部分群によって生成される場合、それらは拡張子族を形成することも示唆する。

ABSTRACT

We prove that if L is a finite simple group of Lie type and A a symmetric set of generators of L, then A grows i.e |AAA| > |A|^(1+epsilon) where epsilon depends only on the Lie rank of L, or AAA=L. This implies that for a family of simple groups L of Lie type the diameter of any Cayley graph is polylogarithmic in |L|. Combining our result on growth with known results of Bourgain,Gamburd and Varjú it follows that if LAMBDA is a Zariski-dense subgroup of SL(d,Z) generated by a finite symmetric set S, then for square-free moduli m which are relatively prime to some number m_0 the Cayley graphs Gamma(SL(d,m),pi_m(S)) form an expander family.

研究の動機と目的

• 有限単純リー型群のカイリー図の直径に関するババイの予想を、多対数的直径の上限を証明することで解決すること。
• 有限単純リー型群における対称生成集合の成長に関する結果を確立し、生成集合が急速に成長するか、3ステップで群全体を生成するかのいずれかであることを示すこと。
• Helfgottによる $SL(2,p)$ および $SL(3,p)$ の成長結果を、有界ランクのすべての有限単純リー型群に拡張すること。
• $SL(d,\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ のカイリー図が、平方自由な $m$ に対してZariski稠密部分群によって生成される場合、それらが拡張子族を形成することを証明すること。
• 加法的組合せ論に依存せず、代数幾何学とリー理論を用いた群論的証明により成長を示すこと。

提案手法

• 生成集合と最大トーラスおよびその正則半単純元との交差を制限するための「部分多様体からの脱出」の議論を用いる。
• 二分岐の議論を適用：生成集合 $A$ が成長しない場合、ある最大トーラスのすべての共役をカバーしないか、あるいはどの最大トーラスの一部にもカバーしない。
• 共役類と中心化部分群の大きさを分析し、次元と群論的構造を用いて $|A^3|$ の上限を導出する。
• 最大トーラスに含まれる正則半単純元が一意に特定される最大トーラスにのみ属することを活用し、共役類間の不交差性を示す。
• 代数群の構造とその有限点を用いて、問題を再帰的群と正規部分群における成長に還元する。
• 代数幾何学における重要な結果を応用：低次元の部分多様体を避ける集合は、そのような部分多様体との交差が小さくなる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のリー型の有限単純群 $L$ とそのランク $r$ の対称生成集合 $A$ に対して、$r$ のみに依存する $\varepsilon > 0$ が存在し、$|A^3| \gg |A|^{1+\varepsilon}$ が成り立つか？
• RQ2 すべての有界ランク $r$ の有限単純リー型群に対して、カイリー図 $\Gamma(L,S)$ の直径が $C(r)(\log|L|)^{c(r)}$ で抑えられるか？
• RQ3 この成長結果は、$SL(d,\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ のカイリー図が、$SL(d,\mathbb{Z})$ のZariski稠密部分群によって生成される場合、平方自由な $m$ に対して拡張子族を形成することを示唆するか？
• RQ4 $\varepsilon$ のランク $r$ への依存性は必要不可欠であり、一般には回避できないか？
• RQ5 加法的組合せ論に依存せず、代数群論と幾何的議論に依存して成長結果を証明できるか？

主な発見

• 任意のリー型の有限単純群 $L$ とそのランク $r$ に対して、任意の対称生成集合 $A$ に対して、$r$ のみに依存する $\varepsilon > 0$ が存在し、$|A^3| \gg |A|^{1+\varepsilon}$ が成り立つ、または $A^3 = L$ である。
• カイリー図 $\Gamma(L,S)$ の直径は、$C(r)(\log|L|)^{c(r)}$ で抑えられる。ここで $C(r)$ と $c(r)$ はランク $r$ のみに依存する。これは、有界ランクの族においてババイの予想を裏付ける。
• この結果は、$SL(d,\mathbb{Z})$ のZariski稠密部分群 $\Lambda$ が有限対称集合 $S$ によって生成される場合、平方自由な $m$ で $\gcd(m, m_0) = 1$ となる $m$ に対して、カイリー図 $\Gamma(SL(d,\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}), \pi_m(S))$ が拡張子族を形成することを示唆する。これは、$d \geq 2$ のすべての $d$ に一般化された結果である。
• ランク $r$ への $\varepsilon$ の依存性が本質的であることを示す例を構成した。$SL(d,3)$ に対して、$d$ が大きいとき、$|A| = 1.1^d$ である生成集合 $A$ が存在し、$|A^3| < 10|A|$ となる。
• 証明は加法的組合せ論を避け、代数幾何学と群論的構造、特に正則半単純元とその共役類の性質に依存している。
• 根本的な二分岐が確立された：$A$ が成長しない場合、ある最大トーラスをカバーしない（任意のトーラスとの交差が小さい）か、または固定された最大トーラスのすべての共役をカバーする（この場合 $|A|$ は $|L|$ に近い）。