[論文レビュー] Growth in finite simple groups of Lie type of bounded rank

László Pyber, Endre Szabó|arXiv (Cornell University)|May 11, 2010

Finite Group Theory Research参考文献 42被引用数 67

ひとこと要約

この論文は、有界ランクのリー型有限単純群における生成集合の乗算による成長が速やかに進行することを確立し、$|A^3| \gg |A|^{1+\varepsilon}$ または $A^3 = L$ が成り立つことを示した。ここで $\varepsilon > 0$ はランクにのみ依存する。この結果は、ケイリー図の多対数的直径の上界を導き、新たな拡張子族の構成を可能にし、ババイの有限単純群の直径に関する予想の主要なケースを解決する。

ABSTRACT

We prove that if L is a finite simple group of Lie type and A a symmetric set of generators of L, then A grows i.e |AAA| > |A|^{1+epsilon} where epsilon depends only on the Lie rank of L, or AAA=L. This implies that for a family of simple groups L of Lie type of bounded rank the diameter of any Cayley graph is polylogarithmic in |L|. We obtain a similar bound for the diameters of all Cayley graphs of perfect subgroups of GL(n,p) generated by their elements of order p. We also obtain some new families of expanders. We also prove the following partial extension. Let G be a subgroup of GL(n,p), p a prime, and S a symmetric set of generators of G satisfying |S^3|\le K|S| for some K. Then G has two normal subgroups H\ge P such that H/P is soluble, P is contained in S^6 and S is covered by K^c cosets of H where c depends on n. We obtain results of similar flavour for sets generating infinite subgroups of GL(n,F), F an arbitrary field.

研究の動機と目的

• 有界ランクのリー型有限単純群のケイリー図の直径に関するババイの予想を解決すること。
• このような群において、一様な成長現象を確立し、小さな生成集合が乗算によって速やかに成長することを示すこと。
• 成長結果から新たな拡張子グラフ族を導出すること。
• 成長フレームワークを $GL(n,p)$ の部分群および任意の体上の無限線形群に拡張すること。

提案手法

• 代数幾何学、多項式法、群論的技法を組み合わせて、リー型有限単純群における集合の成長を分析する。
• 代数的多様体および準同型の次数を用いて、群作用による逆像の成分数と次数を制限する。
• 多変数設定におけるユークリッドの互除法と多項式除法を用いて、再帰的分割における中間代数的集合の次数を制御する。
• 代数群およびその部分群の構造を活用して、問題を有界ランクの設定に還元し、帰納法を適用する。
• ガワーズとヘルゴットによる積集合および拡張に関する結果を応用し、任意の有界ランクの有限単純群のリー型に成長結果を拡張する。
• K-近似群の概念を用い、可解正規部分群の陪集合による対称集合の被覆を用いて、非生成集合を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有界ランクのリー型有限単純群について、対称生成集合 $A$ に対して、$\varepsilon > 0$ がランクにのみ依存するとき、$|A^3| \gg |A|^{1+\varepsilon}$ が成り立つか？
• RQ2 このような群のケイリー図の直径が、群の位数の多対数関数で上界を持つことができるか？
• RQ3 成長結果は、これらの群のケイリー図に拡張子族の存在を示唆するか？
• RQ4 成長フレームワークは、$GL(n,p)$ の部分群および任意の体上の無限線形群に拡張可能か？
• RQ5 成長指数 $\varepsilon$ はリーランク $r$ にどのように依存するか、そしてそれは必須か？

主な発見

• 任意のリー型の有界ランクをもつ有限単純群 $L$ と任意の対称生成集合 $S$ に対して、$\Gamma(L,S)$ の直径は、$r$ にのみ依存する定数 $c(r)$ を用いて $(\log|L|)^{c(r)}$ で上界が与えられる。
• $A^3 = L$ であるか、$\varepsilon > 0$ がランク $r$ のみに依存するとき、$|A^3| \gg |A|^{1+\varepsilon}$ が成り立つ。これは、有界ランク群における一様成長を証明する。
• $\varepsilon$ が $r$ に依存することは必要であることを示す明示的な例を構成した：$SL(n,3)$ に対して、$|A^3| < 100|A|$ を満たすサイズ $2^{n-1}+4$ の生成集合が存在する。
• この結果は、有界ランクのリー型有限単純群のケイリー図が多対数的直径をもつ拡張子族を形成することを示唆する。
• 部分的な拡張が証明された：$G \leq GL(n,p)$ で $|S^3| \leq K|S|$ であるとき、$H \geq P$ を満たす正規部分群 $H$ が存在し、$H/P$ は可解、$P \subseteq S^6$、$S$ は $H$ の $K^c$ 個の陪集合で被覆され、$c$ は $n$ にのみ依存する。
• 成長結果により、素数法におけるボーゲインとガンバルドの拡張予想が $SL(n,p)$ に対して成立することが示された。なぜなら、必要な成長条件が今や確認されたからである。