[論文レビュー] Growth in Right-Angled Groups and Monoids

Jayadev S. Athreya, Amritanshu Prasad|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、グラフモノイド、右鋭角アーティン群（RAAG）、右鋭角コクセター群（RACG）の球的成長関数と測地的成長関数の間の関数的関係を確立する。特に、RAAGの球的成長関数は、その定義グラフのクリーク多項式を用いた公式 $\mathrm{RAAG}_{\Gamma}(t) = \frac{1}{p_{\Gamma}\left(\frac{-2t}{1+t}\right)}$ によって決定されることを示す。さらに、リンク正則性と行列に基づく再帰関係を用いて、測地的生成関数を計算するためのアルゴリズムも提供する。

ABSTRACT

We derive functional relationships between spherical generating functions of graph monoids, right-angled Artin groups and right-angled Coxeter groups. We use these relationships to express the spherical generating function of a right-angled Artin group in terms of the clique polynomial of its defining graph. We also describe algorithms for computing the geodesic generating functions of these structures.

研究の動機と目的

• グラフモノイド、RAAG、RACGの球的生成関数の間の関数的関係を導出すること。
• 右鋭角アーティン群の球的生成関数を、その定義グラフのクリーク多項式を用いて表現すること。
• 特にリンク正則性の条件下で、これらの構造の測地的生成関数を計算するためのアルゴリズムを開発すること。
• リンク正則グラフに対して、測地的生成関数がクリーク多項式によって決定されることを確立し、既存の結果を一般化すること。

提案手法

• 著者らは、カルティエ＝フォアタ恒等式とシャッフル関係を用いて、モノイド、RAAG、RACG間の成長関数を関連付ける。
• 球的生成関数を、長さ $l(x)$ ごとに $t^{l(x)}$ を合計する形式的べき級数として定義し、クリーク多項式 $p_{\Gamma}(t)$ を用いて有理式を得る。
• 測地的成長に対しては、弱い分岐の概念を導入し、包含除算法を用いて、特定のクリークから弱く分岐するクリークを数える。
• タイプ（クリークのサイズ）ごとの語の個数をモデル化するため、行列 $\bar{B}_1$ と対角行列 $\bar{D}$ を定義し、ベクトル値生成関数を可能にする。
• リンク正則性を活用して、再帰係数が特定のクリークに依存せず、クリークのサイズにのみ依存することを保証し、計算を簡略化する。
• この手法は、行列の逆行列を用いた有理生成関数表現で結実する：$\sum \bar{\mathbf{m}}_n t^n = t[I - (\bar{D} + \bar{B}_1)t]^{-1}\bar{\mathbf{m}}_1$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定義グラフのクリーク多項式を通じて、グラフモノイド、RAAG、RACGの球的生成関数はどのように関係しているか？
• RQ2 右鋭角アーティン群の球的成長関数は、その定義グラフのクリーク多項式を用いて閉形式で表現可能か？
• RQ3 どのような条件下で、グラフからの組合せ的データを用いて測地的生成関数をアルゴリズム的に計算可能か？
• RQ4 RAAGおよびRACGの測地的生成関数は、定義グラフのクリーク多項式にのみ依存する程度はどの程度か？
• RQ5 リンク正則性などの定義グラフの構造的性質は、成長関数の計算をどのように簡略化可能にするか？

主な発見

• 右鋭角アーティン群の球的生成関数は $\mathrm{RAAG}_{\Gamma}(t) = \frac{1}{p_{\Gamma}\left(\frac{-2t}{1+t}\right)}$ で与えられ、モノイドおよびコクセター群に対する既知の公式を一般化する。
• $m$ 個の頂点からなる完全グラフに対して、対応するRAAGの球的成長関数は $\left(\frac{1+t}{1-t}\right)^m$ であり、これは $\mathbb{Z}^m$ における $\ell^1$-球の個数と一致する。
• 自由群 $F_2$ に対して、$m$ 頂点の孤立頂点からなるグラフ $\Gamma$ の場合、球的成長関数は $\frac{1+t}{1-(2m-1)t}$ であり、自由群の語の個数と一致する。
• 正方形グラフ（$F_2 \times F_2$ を定義）に対して、クリーク多項式は $(1+2t)^2$ であり、球的成長関数は $\left(\frac{1+t}{1-3t}\right)^2$ を得る。
• 線形グラフ $A_m$ に対して、クリーク多項式は $1 + mt + (m-1)t^2$ であり、球的成長関数は $\frac{(1+t)^2}{1 - 2(m-1)t + (2m-3)t^2}$ を得る。
• 二つのリンク正則グラフが同じクリーク多項式を持つならば、$\mathrm{GM}_\Gamma$、$\mathrm{RAAG}_\Gamma$、$\mathrm{RACG}_\Gamma$ の測地的生成関数は同一であり、$\mathrm{GM}^*_{\Gamma_1}(t) = \mathrm{GM}^*_{\Gamma_2}(t)$ などによって示される。