[論文レビュー] Growth of Levy trees

Thomas Duquesne, Matthias Winkel|ArXiv.org|Sep 22, 2005

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 25被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、i.i.d. 指数分布の辺長をもつ一貫した離散的ガロン＝ワトソン森の族の Gromov-Hausdorff 積極限として、初期質量 $ a $ と分岐機構 $ \psi $ でパラメータ化された Lévy 樹木を構成する。主な貢献は、高さ過程に依存しない直接的で、超臨界ケースを含む、より直接的かつ一般な構成法であり、質量測度によるポアソン標本化分解を確立している。

ABSTRACT

We construct random locally compact real trees called Levy trees that are the genealogical trees associated with continuous-state branching processes. More precisely, we define a growing family of discrete Galton-Watson trees with i.i.d. exponential branch lengths that is consistent under Bernoulli percolation on leaves; we define the Levy tree as the limit of this growing family with respect to the Gromov-Hausdorff topology on metric spaces. This elementary approach notably includes supercritical trees and does not make use of the height process introduced by Le Gall and Le Jan to code the genealogy of (sub)critical continuous-state branching processes. We construct the mass measure of Levy trees and we give a decomposition along the ancestral subtree of a Poisson sampling directed by the mass measure.

研究の動機と目的

• 与えられた分岐機構 $ \psi $ をもつ連続状態マーチャンダイジング過程（CSBP）の遺伝的系図を表す、Lévy 樹木と呼ばれる確率的実木を構成すること。
• 高さ過程に依存しない、直接的かつ初等的な方法で、i.i.d. 指数分布の辺長をもつ離散的ガロン＝ワトソン森を用いて Lévy 樹木を構成すること。
• Bernoulli 葉パーコレーションの下で一貫したランダム森族を $ (a, \psi) $ でパラメータ化し、Gromov-Hausdorff 位相で Lévy 樹木に収束することを示すこと。
• Lévy 樹木上の質量測度を定義・特徴づけ、この測度に従ってポアソン標本化による分解を得ること。

提案手法

• i.i.d. 指数分布の辺長をもつ、成長するガロン＝ワトソン森族 $ \mathcal{F}_\lambda $ を構成し、パラメータ $ 1 - \mu/\lambda $ の Bernoulli 葉着色に関して一貫性を持つこと。
• 子供の分布、辺長のレート、初期祖先数を $ a_\lambda = a \psi^{-1}(\lambda) $、$ c_\lambda = \psi'(\psi^{-1}(\lambda)) $、および $ \psi $ を含む母関数でパラメータ化すること。
• Gromov-Hausdorff 位相を用いて、$ \lambda \to \infty $ のとき $ \mathcal{F}_\lambda $ のほとんど確実な極限として Lévy 樹木 $ \mathcal{T} $ を定義すること。
• 分岐機構の逆関数に関連する強度をもつ、部分木上のポアソン点過程を用いて Lévy 樹木上の質量測度を定義すること。
• 質量測度に従ってポアソン標本化を行うことで、Lévy 樹木を独立な成分に分解することを確立し、根に接続される部分木の分布を $ P^r_{\mu_0} $ で特徴づけること。
• ラプラス変換と劣化収束を用いて、有限次元分布の収束および森の成長過程の弱収束を証明し、Lévy 樹木の分布的性質を満たすことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高さ過程に依存しないで、指数辺長をもつ離散的ガロン＝ワトソン森族の Gromov-Hausdorff 積極限として Lévy 樹木を直接構成できるか？
• RQ2 Bernoulli 葉パーコレーションの下で、$ (a, \psi) $ でパラメータ化された一貫したガロン＝ワトソン森族は、どのようにして極限で Lévy 樹木を与えるか？
• RQ3 Lévy 樹木上の質量測度の構造は何か？ また、部分木のポアソン標本化とどのように関係するか？
• RQ4 Lévy 樹木の根に接続される部分木の分布は、ポアソン標本化の下でどのように振る舞い、その極限形は何か？

主な発見

• Lévy 樹木は、i.i.d. 指数分布の辺長をもつ一貫したガロン＝ワトソン森族の Gromov-Hausdorff 積極限として、$ (a, \psi) $ でパラメータ化された形で構成された。
• 森族の極限分布は、$ \psi^{-1}(\lambda) $ および $ \psi'(\psi^{-1}(\lambda)) $ を用いた明示的な公式により、子供の分布、辺長のレート、初期祖先数が特徴づけられる。
• Lévy 樹木上の質量測度は、部分木上のポアソン点過程を用いて定義され、分岐機構の逆関数に関連する強度を持つ。
• 条件付きで $ \mu_0 $-森を前提とすると、根に接続される部分木は独立に $ P^r_{\mu_0} $ に従い、$ v_{\mu_0}(\epsilon) $ を含む極限形をとる。
• ラプラス変換と劣化収束を用いて、森の過程が Lévy 樹木に収束することが証明され、極限は必要な分布的性質を満たす。
• この構成法は超臨界ケース（$ m < 0 $）を含み、高さ過程に依存しないため、従来の方法よりもより直接的かつ一般性の高いアプローチを提供する。