[論文レビュー] Growth of Odd Torsion Over Imaginary Quadratic Fields of Class Number 1

Irmak Balçık|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2021

Meromorphic and Entire Functions被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、類数1の虚二次体の二次拡大体において現れる可能性のある奇数位の捩れ部分群を分類する。ただし、巡回体を除く。モジュラー曲線、同種理論、計算数論（対称Chabauty法やMordell-Weilのふるい法を含む）を用いて、集合 S = {Q(√−2), Q(√−7), Q(√−11), Q(√−19), Q(√−43), Q(√−67), Q(√−163)} に属する非巡回体では、二次拡大体における唯一の可能な奇数位の捩れ群は、n ∈ {1, 3, 5, 7, 9, 11, 15} に対する Zn および Z3 ⊕ Z3, Z3 ⊕ Z9 であり、後者は Q(√−2) または Q(√−11) のみで現れることが証明された。

ABSTRACT

Let $K$ be a non-cylotomic imaginary quadratic field of class number 1 and $E/K$ is an elliptic curve with $E(K)[2]\simeq \mathbb{Z}_1.$ We determine the odd-order torsion groups that can arise as $E(L)_{ ext{tor}}$ where $L$ is a quadratic extension of $K.$

研究の動機と目的

• 類数1の非巡回虚二次体の二次拡大体に現れる可能性のある奇数位の捩れ部分群の完全な集合を特定すること。
• Q や巡回体における捩れ増大に関する先行研究を、類数1の残りの虚二次体に拡張すること。
• 特に N = 77 の場合、モジュラー曲線 X0(N) が高 genus をとる場合の奇数位の捩れの増大を、高度な算術幾何学的手法を用いて解明すること。
• Z3 ⊕ Z9 および Z11 が Q(√−2) および Q(√−11) のみで現れ、S の他の体では現れないことを確立すること。

提案手法

• K-有理な巡回的 N-同種の理論を用い、それらをモジュラー曲線 X0(N) 上の有理点と関連付ける。
• 対称Chabauty法およびMordell-Weilのふるい法を用いて、特に genus 7 の X0(77) のような高 genus モジュラー曲線上の二次点を計算する。
• Mumford表現およびヤコビアンの有理点を用いて、N = 33, 35 に対する双曲的曲線 X0(N) 上の例外的二次点を分類する。
• X0(N) が K 上正のランクを持つ場合、直接的な点の列挙が不可能であるため、分割多項式法を用いる。
• Siksek および Ozman の genus 3 および 5 の曲線に関する結果、および Ozman の N = 35 に対する二次捩れの分類を活用する。
• 計算代数幾何学と類体論、捩れ部分群の解析を統合して、不可能な構成を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非巡回虚二次体 K（類数1）の二次拡大体 L において、楕円曲線 E に対して E(L)tor として現れる可能性のある奇数位の捩れ部分群はどれか？
• RQ2 S に属するどの体 K およびどの捩れ群 G に対して、ある E/K に対して E(L)tor ≃ G を満たす二次拡大体 L が存在するか？
• RQ3 なぜ Z3 ⊕ Z9 および Z11 は Q(√−2) および Q(√−11) のみで現れ、S の他の体では現れないのか？
• RQ4 巡回的 N-同種が、二次拡大における奇数位の捩れの増大をどのように制限するのか？
• RQ5 X0(77) のような高 genus モジュラー曲線を効果的に解析するには、どのような手法が必要か？

主な発見

• S に属する K に対する二次拡大体における唯一の可能な奇数位の捩れ部分群は、n ∈ {1, 3, 5, 7, 9, 11, 15} に対する Zn および Z3 ⊕ Z3, Z3 ⊕ Z9 である。
• Z3 ⊕ Z9 は K = Q(√−2) または Q(√−11) のみで現れ、S の他の体では現れない。
• Z11 および Z15 は、S に属する任意の K の二次拡大体で増大しない。これは、それぞれ 55-および 77-同種が存在しないためであり、これらの体では不可能である。
• Z7 は任意の二次拡大体で増大しない。これは、77-同種が存在しないためであり、S に属する K の二次拡大体ではそのような同種は存在しない。
• E(K)tor ≃ Z15 の場合、二次捩れ Ed(K)tor は常に自明であるため、増大がないことが確認された。
• 本論文は、類数1のすべての虚二次体における奇数位の捩れ増大を完全に分類し、以前未分類であった非巡回ケースを含めて完了した。