[論文レビュー] Growth of Sobolev norms in the cubic defocusing nonlinear Schrödinger equation with a convolution potential

Marcel Guàrdia|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2012

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、2次元トーラス上での立方非線形シュレーディンガー方程式（NLS）に畳み込み型ポテンシャルを導入した場合、$ s > 1 $ に対して $ H^s $-ソボレフノルムに非有界な成長を示す解の存在を確立する。正準形還元と多スケール解析を用いて、標準的な方程式（ポテンシャルなし）で既に知られていた境界と一致する成長率を示した。この結果は、任意の $ s_0 > 0 $ に対して $ H^{s_0} $ に属するポテンシャルに対しても成り立つ。

ABSTRACT

Fix $s>1$. Colliander, Keel, Staffilani, Tao and Takaoka proved in \cite{CollianderKSTT10} the existence of solutions of the cubic defocusing nonlinear Schrödinger equation in the two torus with $s$-Sobolev norm growing in time. In this paper we generalize their result to the cubic defocusing nonlinear Schrödinger equation with a convolution potential. Moreover, we show that the speed of growth is the same as the one obtained for the cubic defocusing nonlinear Schrödinger equation in \cite{GuardiaK12}. The results we obtain can deal with any potential in $H^{s_0}(\TT^2)$, $s_0>0$.

研究の動機と目的

• 2次元トーラス上での立方非焦点化NLSにおけるソボレフノルムの非有界成長に関するCollianderらの結果を、畳み込み型ポテンシャルを含む場合に拡張すること。
• 標準方程式と同一の成長率を示す、$ H^s $-ノルムの成長率が多項式的でない（すなわち、部分多項式的）ことを示すこと。
• 任意の $ s_0 > 0 $ に対して $ H^{s_0}(\mathbb{T}^2) $ に属するポテンシャル、特にフーリエ係数の収束が遅いものも含めて取り扱えるようにすること。
• 畳み込み型ポテンシャルが高周波数モードへのエネルギー移動を妨げず、長時間にわたる高周波数ソボレフノルムの成長を可能にすることを示すこと。

提案手法

• 方程式をフーリエ空間に書き直し、保存エネルギー $ \mathcal{H} $ および質量 $ \mathcal{M} $ を持つ無限次元ハミルトニアン系に還元する。
• 非共鳴項を除去するための多スケール正準形変換を適用し、摂動的解析に適した形にシステムを簡略化する。
• 時間スケールの分解と繰り返し平均化を用いて、高周波数モードの成長を制御する。
• ポテンシャルのフーリエ係数 $ v_n \lesssim |n|^{-s_0} $ の衰減を利用し、非線形相互作用項を $ \ell^1 $-ノルムの見積もりで制御する。
• 解のフーリエ係数の $ \ell^1 $-ノルムに関するブートストラップ法を用いて、時間発展を制御する。
• 変換された変数においてグロワールド型の議論を適用し、解の $ \ell^1 $-ノルムの成長に対する一様な境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 畳み込み型ポテンシャルを伴う立方非焦点化NLSの解は、$ s > 1 $ に対して $ H^s $-ソボレフノルムに非有界な成長を示すことができるか？
• RQ2 任意の $ s_0 > 0 $ に対して $ H^{s_0}(\mathbb{T}^2) $ に属するポテンシャルが、標準方程式と比較してソボレフノルムの成長率を変化させるか？
• RQ3 ポテンシャルが滑らかであっても、大きさが小さいとは限らない場合に、$ H^s $-ノルムの成長を任意に大きくできる解を構成可能か？
• RQ4 標準NLSで観察された成長メカニズムを、正準形技術を用いて畳み込み型ポテンシャルを含む場合に適応可能か？

主な発見

• 本稿は、2次元トーラス上での立方非焦点化NLSに畳み込み型ポテンシャルを導入した場合、任意の $ s > 1 $ に対して $ H^s $-ノルムが非有界に成長する解の存在を確立した。
• $ H^s $-ノルムの成長率が時間に対して部分多項式的であることが示され、[GK12]で得られた標準NLS方程式の結果と一致する。
• 任意の $ s_0 > 0 $ に対して $ H^{s_0}(\mathbb{T}^2) $ に属するポテンシャル $ V $ に対してこの結果が成り立つ。特に、フーリエ係数の収束が遅いポテンシャルに対しても成立する。
• エネルギーが高周波数モードへと移動するメカニズムを通じて成長が達成されており、ハミルトニアン構造と保存則と整合的である。
• 長時間スケールでの非線形相互作用を制御するため、精密な正準形変換と多スケール解析に依存している。
• 適切な初期データのスケーリングのもとで、ソボレフノルムの任意に大きな成長を達成できる十分に長い時間スケールで成長が発生することが示された。