[論文レビュー] Growth of some transversely homogeneous foliations

Jesús A. Álvarez López, Robert Wolak|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2013

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、コンパクト多様体上の横断的に一様なfoliationについて、二分岐を確立する。もしグローバルホロノミー群の閉包が連結であれば、すべての葉のホロノミー被覆は、一様に有界な多項式的成長を示すか、あるいはすべてが指数的成長を示す。この結果は、BreuillardとGelanderのLie foliationにおける二分岐を、より広いクラスの(G, G/P)-foliationへ、粗い等長的技法と同次擬群の成長理論を用いて拡張する。応用例として、横断的に射影的foliationが含まれる。

ABSTRACT

For transversely homogeneous foliations on compact manifolds whose global holonomy group has connected closure, it is shown that either all holonomy covers of the leaves have polynomial growth with degree bounded by a common constant, or all holonomy covers of the leaves have exponential growth. This is an extension of a recent answer given by Breuillard and Gelander to a question of Carri\`ere. Examples of transversely projective foliations satisfying the above condition were constructed by Chihi and ben Ramdane.

研究の動機と目的

• Lie foliationにおける葉の成長に関するBreuillardとGelanderの二分岐を、横断的に一様な(G, G/P)-foliationへ拡張すること。
• コンパクト多様体上の横断的に一様なfoliationにおける葉のホロノミー被覆の成長挙動を調査すること。
• すべてのホロノミー被覆が一様に有界な多項式的成長または指数的成長を示す条件を確立すること。
• グローバルホロノミー群の連結性が、葉のホロノミー被覆の成長タイプを決定する役割を分析すること。

提案手法

• ホロノミー被覆とガーブ被覆の幾何を比較するために、度合いの粗い等長的写像と距離空間における成長タイプの使用。
• 部分群Γ ⊂ GがG/Pの開集合上で作用することにより、(G, G/P)-擬群を定義する。
• 対称的生成集合SとS′を用いた、コンパクト生成の再帰的系の構成。
• 非可解の連結Lie群における自由半群の存在を保証する[5, 系理10.5]の応用。
• 生成集合Sによって誘導される距離dS,U,xを用いて、語長を介した成長の分析。
• 補題2.7を活用し、dS′,U,xからdEへの成長タイプの転送を実施し、非可解の場合に指数的成長を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 横断的に一様なfoliationにおける葉のホロノミー被覆がすべて一様に有界な多項式的成長を示す条件は何か？
• RQ2 このようなfoliationにおける葉のホロノミー被覆がすべて指数的成長を示す条件は何か？
• RQ3 グローバルホロノミー群Γの連結性は、葉のホロノミー被覆の成長タイプにどのように影響するか？
• RQ4 非コンパクトなPをもつ(G, G/P)-foliationに対しても、Lie foliationで観察された二分岐を拡張できるか？
• RQ5 ホロノミー群に自由半群が存在することは、指数的成長を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• グローバルホロノミー群Γの閉包が連結であれば、すべての葉のホロノミー被覆は、共通の定数によって有界される多項式的成長を示すか、あるいはすべてが指数的成長を示す。
• 証明は、Γが非可解かつ連結であれば、ランク≥2の自由半群を含むことを示すことに依拠し、これによりホロノミー被覆で指数的成長が生じる。
• Γが可解の場合、成長は多項式的であり、可解度によって一様に有界される。
• G-actionがG/Pに忠実でG/Pが連結であれば、(G, G/P)-foliationにおいてもこの結果が成り立つ。
• 二分岐は、粗い等長的技法と擬群およびその生成集合間の成長比較によって確立される。
• 定理は、非ゼロのGodbillon-Vey不変量を持つ例を含む、横断的に射影的foliationにも適用可能であり、Chihiとben Ramdaneによって構成された例が含まれる。