[論文レビュー] Growth partition functions for cancellative infinite monoids

Kyoji Saito|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限生成を持つ消去可能な無限モノイドに対して、成長関数から導かれる代数的方程式を用いて極限分割関数を計算するための枠組みを確立する、成長分割関数 $Z_{\Gamma,G}(t)$ を導入する。アーティンモノイドの有限型—例えばブレッドモノイド—に対しては、可能な有限個の例外を除き、これらのモノイドが単純な蓄積性（$\#\Omega(\Gamma,G) = 1$）を示し、成長関数 $Z_{\Gamma,G}(t)$ の分母多項式の最小の実根 $r_{\Gamma,G}$ における評価によって、一意な極限分割関数 $\omega_{\Gamma,G}$ を明示的に計算することを証明する。

ABSTRACT

We introduce the {\it growth partition function} $Z_{Γ,G}(t)$ associate with any cancellative infinite monoid $Γ$ with a finite generator system $G$. It is a power series in $t$ whose coefficients lie in integral Lie-like space $\mathcal{L}_{\Z}(Γ,G)$ in the configuration algebra associated with the Cayley graph $(Γ,G)$. We determine them for homogeneous monoids admitting left greatest common divisor and right common multiple. Then, for braid monoids and Artin monoids of finite type, using that formula, we explicitly determine their limit partition functions $ω_{Γ,G}$.

研究の動機と目的

• 有限生成を持つ消去可能な無限モノイドの成長分割関数 $Z_{\Gamma,G}(t)$ を定義し、その性質を研究すること。
• 左GCDと右共通倍元を有する一様モノイドに対して $Z_{\Gamma,G}(t)$ を特定すること。
• アーティンモノイドの有限型が、可能な有限個の例外を除き単純な蓄積性（$\#\Omega(\Gamma,G) = 1$）を示すことの確立。
• 成長関数と代数的方程式を用いて、そのようなモノイドの極限分割関数 $\omega_{\Gamma,G}$ を明示的に計算すること。

提案手法

• 構成の代数 $\mathbb{A}[[Conf(\Gamma,G)]]$ を導入し、部分グラフ和の対数を用いて Lie 的な要素 $\mathcal{L}_{\mathbb{A}}(\Gamma,G)$ を定義する。
• 成長分割関数を $Z_{\Gamma,G}(t) := \frac{P_{\Gamma,G}\mathcal{M}(t)}{P_{\Gamma,G}(t)}$ として定義する。ここで $P_{\Gamma,G}(t)$ は成長系列、$P_{\Gamma,G}\mathcal{M}(t)$ は Lie 的な要素の生成系列である。
• 先行研究の主要な式 (1.1) を用い、$Trace^{[e]}\Omega(\Gamma,G)$ を $Z_{\Gamma,G}(t)$ と関連づける。誤差項 $E$ と慣性群のデータを含む。
• クラス $\mathcal{C}$ のモノイド、特に有限型アーティンモノイドに対して、周期 $h_{\Gamma,G} = 1$ を仮定して式を適用する。
• $r_{\Gamma,G}$ を $N_M(t)$ の分母多項式の $ (0,1) $ 内の最小の実根とするとき、$\omega_{\Gamma,G}$ を $Z_{\Gamma,G}(r_{\Gamma,G})$ として計算する。
• タイプ $A_l$, $B_l$, $D_l$ について $l \leq 30$ まで、および $E_6$, $E_7$, $E_8$, $F_4$, $G_2$, $H_3$, $H_4$, $I_2(p)$ について、予想と計算的検証に依拠し、小林・土岡・安田によるさらなる解析的支援を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合 $\Omega(\Gamma,G)$ が単一集合、すなわちモノイドが単純な蓄積性を示す条件は何か？
• RQ2 左GCDと右共通倍元を有する一様モノイドに対して、成長分割関数 $Z_{\Gamma,G}(t)$ をどのように明示的に計算できるか？
• RQ3 有限型アーティンモノイドの極限分割関数 $\omega_{\Gamma,G}$ の明示的形は何か？
• RQ4 分母多項式 $N_M(t)$ の最小の実根 $r_{\Gamma,G}$ が、$Z_{\Gamma,G}(t)$ の評価によって $\omega_{\Gamma,G}$ の正しい値を与えるか？
• RQ5 多項式 $N_M(t)$ の根に対するガロア群の作用が、$\Omega(\Gamma,G)$ の構造にどの程度影響を与えるか？

主な発見

• 有限型アーティンモノイドに対しては、タイプ $A_l$, $B_l$, $D_l$ で $30 < l < M$ の場合に限り、可能な有限個の例外を除き $\#\Omega(\Gamma,G) = 1$ が成り立つ。
• 極限分割関数 $\omega_{\Gamma,G}$ は、$N_M(t)$ の分母多項式の $ (0,1) $ 内の最小の実根 $r_{\Gamma,G}$ における $Z_{\Gamma,G}(t)$ の評価、すなわち $Z_{\Gamma,G}(r_{\Gamma,G})$ として与えられる。
• クラス $\mathcal{C}$ に属するモノイド、特に有限型アーティンモノイドに対して、成長分割関数 $Z_{\Gamma,G}(t)$ が明示的に特定されている。
• すべてのテスト済みの有限型アーティンモノイドに対して周期 $h_{\Gamma,G} = 1$ が確認され、$\Omega(\Gamma,G)$ の単純性を支持する。
• 慣性群のサイズ $m_{\Gamma,G} = 1$ であり、分子多項式 $A^{[e]}(s) = 1$ であるため、主要式 (1.1) は $\omega_{\Gamma,G} = Z_{\Gamma,G}(r_{\Gamma,G})$ に簡略化される。
• 式 $\omega_{\Gamma,G} = \sum_{S \in Conf_0(\Gamma_M,G)} \varphi(S) \, r_{\Gamma_M,G}^{L(S)}$ は、極限分割関数の明示的かつ計算可能な表現を提供する。