[論文レビュー] Growth rates and the peripheral spectrum of positive operators

Jochen Glück|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素Banach格子上の正の作用素の周辺スペクトルの巡回性に関する新しい十分条件を、解離ノルムの成長率と固有ベクトルの挙動を分析することによって確立する。解離ノルムがスペクトル半径に近づく列に沿って成長率が最小または最大である場合、周辺固有値のすべての整数乗がスペクトルに属することを示し、Perron-Frobenius理論における長年の未解決問題である巡回性問題への強い証拠を提供する。

ABSTRACT

Let $T$ be a positive operator on a complex Banach lattice. It is a long open problem whether the peripheral spectrum $σ_{\operatorname{per}}(T)$ of $T$ is always cyclic. We consider several growth conditions on $T$, involving its eigenvectors or its resolvent, and show that these conditions provide new sufficient criteria for the cyclicity of the peripheral spectrum of $T$. Moreover we give an alternative proof of the recent result that every (WS)-bounded positive operator has cyclic peripheral spectrum. We also consider irreducible operators $T$. If such an operator is Abel bounded, then it is known that every peripheral eigenvalue of $T$ is algebraically simple. We show that the same is true if $T$ only fulfils the weaker condition of being (WS)-bounded.

研究の動機と目的

• 複素Banach格子上の任意の正の作用素の周辺スペクトルが巡回的であるかどうかという未解決問題を解消すること。
• 解離ノルムと固有ベクトルノルムの成長率に基づいた巡回性の新しい十分条件を確立すること。
• 最近得られた結果、特に(WS)-有界な正の作用素の周辺スペクトルの巡回性についての代替的証明を提供すること。
• 既知のアベル有界作用素に関する結果を、より弱い(WS)-有界条件へと拡張し、特に既約作用素に対して適用すること。
• 解離解析と不変部分空間法を用いて、正の作用素論におけるスペクトル技法を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• スペクトル半径 r(T) = 1 に近づく列 rₙ ↓ 1 に対して、周辺固有値 λ に対応する正規化された固有ベクトル z を用いて、解離ノルム ‖R(rₙ,T)|z‖ の成長率を分析する。
• 1/(rₙ−1) ≤ ‖R(rₙ,T)|z‖ ≤ ‖R(rₙ,T)‖ という不等式を用いて、最小成長および最大成長の挙動を特徴付ける。
• 不変イデアルおよび主バンド上のスペクトル論を適用し、極端な成長条件のもとで λᵏ ∈ σ(T) がすべての k ∈ ℤ に対して成り立つことを示す。
• 超積を用いた還元技術を用いて、周辺スペクトルがすべて固有値であることを保証する。
• (WS)-有界性の概念を用いて、かつてアベル有界作用素に対してのみ知られていた結果を一般化する。
• AM空間上のマルコフ作用素およびねじれ作用素の理論を適用し、T と λT が類似することを示し、回転によるスペクトル不変性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解離ノルムまたは固有ベクトルノルムの成長率がどのような条件下で、正の作用素の周辺スペクトルが巡回的であることが保証されるか？
• RQ2 解離ノルムの成長率が列に沿って最小または最大である場合、周辺スペクトルの巡回性が保証されるか？
• RQ3 (WS)-有界性の条件は、既約な正の作用素の周辺固有値が代数的に単純であることを示唆するか？これはかつてアベル有界作用素に対してのみ知られていた結果である。
• RQ4 (WS)-有界な正の作用素が周辺スペクトルを巡回的にもつという結果を、代替的スペクトル技法を用いて再証明できるか？
• RQ5 正の固有ベクトル z を生成する不変イデアルに制限された T のスペクトル行動と、T 全体のスペクトル行動との関係は何か？

主な発見

• ‖R(rₙ,T)|z|‖ が 1/(rₙ−1) と同程度にゆっくり成長する場合、すべての k ∈ ℤ に対して λᵏ ∈ σ(T) が成り立ち、周辺スペクトルの巡回性が示される。
• ‖R(rₙ,T)|z|‖ が ‖R(rₙ,T)‖ と同程度に速く成長する場合、再びすべての k ∈ ℤ に対して λᵏ ∈ σ(T) が成り立ち、周辺スペクトルの巡回性が示される。
• (WS)-有界性の条件は、既約な正の作用素の周辺固有値がすべて代数的に単純であることを保証する十分条件であり、かつてアベル有界作用素に対してのみ知られていた結果を拡張する。
• (WS)-有界な正の作用素が周辺スペクトルを巡回的にもつという結果について、不変イデアル上のスペクトル技法を用いた代替的証明が提供される。
• 任意の周辺固有値 λ とその正の固有ベクトル z に対して、主イデアル E|z| は T に関して不変であり、T がこのイデアル上でねじれ作用素を介して λT に類似することを示し、σ(T) が λ による乗算で不変であることを示す。
• (1−T)ⁿ の核はすべての n ≥ 2 に対して (1−T) の核と等しくなることが確認され、(WS)-有界性のもとで固有値 1 が代数的に単純であることが裏付けられる。