[論文レビュー] Growth rates of cocompact hyperbolic Coxeter groups and 2-Salem numbers

Yuriko Umemoto|Osaka City University (Osaka City University)|Jun 14, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、コンパクトな切断 Coxeter 4単体タイル（Coxeter ドミノと呼ばれる）を貼り合わせることで、$Δ^4$ 内のコcompactな双曲的 Coxeter 群の成長率として、無限に多くの 2- Salem 数を構成する。Zehrt & Zehrt の成長関数の公式を用い、モジュラー算術を用いて分母多項式を分析することで、貼り合わせパラメータ $(\ell,m,n)$ が特定の条件下にあれば、分母多項式のすべての根が単位円上にあり、2 組の実数の逆数対を除いて、2-Salem 数の成長率であることが証明される。

ABSTRACT

By the results of Cannon, Wagreich and Parry, it is known that the growth rate of a cocompact Coxeter group in 2-dimensional hyperbolic space $H^2$ and 3-dimensional hyperbolic space $H^3$ is a Salem number. Kerada defined a j-Salem number, which is a generalization of a Salem number. In this paper, we realize infinitely many 2-Salem numbers as the growth rates of cocompact Coxeter groups in 4-dimensional hyperbolic space $H ^4$. Our Coxeter polytopes are constructed by successive gluing of Coxeter polytopes which we call Coxeter dominoes.

研究の動機と目的

• 2次元および3次元のコcompactな双曲的 Coxeter 群の成長率が Salem 数であるという既知の結果を、より高次元に拡張すること。
• Salem 数の一般化たる 2-Salem 数が、$Δ^4$ 内で成長率として実現可能かどうかを調査すること。
• 成長率が 2-Salem 数であるような、$Δ^4$ 内のコcompactな双曲的 Coxeter 群の明示的族を構成すること。
• 成長関数の分母多項式が 2-Salem 多項式の特徴的根分布を示すように、貼り合わせパラメータ $(\ell,m,n)$ に課される条件を確立すること。

提案手法

• 超理想頂点をもつ拡張 Coxeter 単体から、$ℚ^4$ 内のコンパクトで完全に切断された Coxeter 4単体 $T$ を構成する。
• タイプ A, B, C の等長的直交 facet に沿って $T$ を逐次貼り合わせることで得られる、無限族のコンパクト Coxeter 多面体（Coxeter ドミノ）を定義する。
• T. Zehrt と C. Zehrt が開発した成長関数の公式を適用し、これらのドミノの成長系列の分母多項式 $Q_{\ell,m,n}(t)$ を計算する。
• モジュラー算術（mod 3）を用いて、$Q_{\ell,m,n}(t)$ に単位多項式の回文的因数（次数 4）が存在しないことを排除し、これは 2-Salem 数の特徴付けに不可欠である。
• 分母多項式の構造から導かれるディオファントス方程式系 $f_{\ell,m,n}(a,b) = 0$ と $g_{\ell,m,n}(a,b) = 0$ を分析し、多項式の既約性と根の分布を特定する。
• 特定のパラメータ集合 $(\ell,m,n)$ に対して、$Q_{\ell,m,n}(t)$ のすべての根が単位円上にあり、2 組の実数の逆数対を除いて、2-Salem 数の成長率であることが証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2-Salem 数、すなわち Salem 数の一般化は、$ℝ^4$ 内のコcompactな双曲的 Coxeter 群の成長率として実現可能か？
• RQ2 成長関数の分母多項式 $Q_{\ell,m,n}(t)$ が 2-Salem 多項式の根分布を示すように、貼り合わせパラメータ $(\ell,m,n)$ に課される条件は何か？
• RQ3 成長率が 2-Salem 数であるような、$ℝ^4$ 内のコcompactな双曲的 Coxeter 群は無限に存在するか？
• RQ4 既約性と根の分布をどのように分析することで、2-Salem 性質を確認できるか？

主な発見

• コンパクトで切断された Coxeter 4単体 $T$ を、直交する facet に沿って貼り合わせることで、$ℝ^4$ 内のコcompactな双曲的 Coxeter 群の成長率として、無限に多くの 2-Salem 数が実現される。
• タイプ B の facet に沿って $n+1$ 個の $T$ を貼り合わせて得られる Coxeter ドミノ族（$(\ell,m,n) = (0,n,n)$ の場合）において、$n \equiv 1 \pmod{3}$ ならば、$Q_{0,n,n}(t)$ は次数 4 の単位多項式の回文的因数を持たず、2-Salem 構造を支持する。
• 同様に、タイプ A の facet に沿って貼り合わせた場合（$(\ell,m,n) = (n,0,n)$）、$n \equiv 1 \pmod{3}$ ならば $Q_{n,0,n}(t)$ も同様にそのような因数を持たず、同じ構造的制約が確認される。
• 方程式系 $f_{\ell,m,n}(a,b) = 0$ および $g_{\ell,m,n}(a,b) = 0$ に対して、mod 3 のモジュラー算術を適用した分析により、$n \equiv 1 \pmod{3}$ の場合に整数解が存在しないことが示され、不正な回文的因数の存在が排除される。
• 指定された族に対して、分母多項式 $Q_{\ell,m,n}(t)$ のすべての根が単位円上にあり、2 組の実数の逆数対を除いて、2-Salem 多項式の定義を満たす。
• 主な結果は、$(\ell,m,n)$ に特定の制限を課した下で得られ、対応する Coxeter 群の成長率が 2-Salem 数であることが証明される。