[論文レビュー] GSV-Index for Holomorphic Pfaff Systems

Maurício Corrêa, Diogo da Silva Machado|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、局所的に分解可能でない場合を含め、射影多様体上の正則Pfaff系に対してGSV型のインデックスを導入し、高ランク系への一般化を行う。局所的表現とヤコビ行列の小行列を用いたインデックスの計算式を確立し、特定の条件下で非負性を示す。主な結果として、非負性が射影空間上のPfaff系のPoincaré問題の解法を妨げるという事実が示され、不変完全交差多様体に対しては $d_1 + \cdots + d_k \leq d + k + 1$ の次数の上限が得られる。

ABSTRACT

In this work we introduce a GSV type index for varieties invariant by holomorphic Pfaff systems (possibly non locally decomposables) on projective manifolds. We prove a non-negativity property for the index. As an application, we prove that the non-negativity of the GSV-index gives us an obstruction to the solution of the Poincar\'e problem for Pfaff systems on projectives spaces.

研究の動機と目的

• 射影多様体上のランクkの正則Pfaff系に対して、局所的に分解可能でない場合を含めてGSV型インデックスを定義すること。
• 局所的代表元とヤコビ行列の小行列を用いたGSVインデックスの計算式を確立すること。
• 例えば不変多様体の滑らかさやその特異点集合からの分離といった条件下で、GSVインデックスの非負性を証明すること。
• GSVインデックスの非負性を、射影空間上のPfaff系のPoincaré問題の解法を妨げる要因として応用すること。

提案手法

• 射影多様体 $X$ 上のランクkのPfaff系 $\omega$ と、codimension kの局所的完全交差部分多様体 $V$ に対して、GSVインデックスを定義する。
• 局所的正則k形式 $\omega|_U = \sum_{|I|=k} a_I dZ_I$ とヤコビ行列の小行列 $\Delta_I$ を用い、式 $\text{GSV}(\omega, V, S_i) = \text{ord}_{S_i}(a_I|_V) - \text{ord}_{S_i}(\Delta_I|_V)$ を導出する。
• 層論的議論とチャーン類の正規化性質を用いて、インデックスが局所的代表元に依存せずwell-definedであることを証明する。
• 留数論とチェーン＝ヴェイ理論を用いて、トポロジカルな公式 $\sum_i \text{GSV}(\omega, V, S_i)[S_i] = c_1([N \otimes \det(N_{V/X})^{-1}])|_V \frown [V]$ を確立する。
• 公式を射影空間 $\mathbb{P}^n$ に適用し、ラインバンドルのチャーン類を用いて次数を計算することで、次数の上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的に分解可能でない場合を含め、射影多様体上のランクkの正則Pfaff系に対して、GSV型インデックスを定義できるか？
• RQ2 局所的表現とヤコビ行列の小行列を用いた、GSVインデックスの明確な計算式は何か？
• RQ3 どのような条件下でGSVインデックスは非負となり、その幾何的意味は何か？
• RQ4 GSVインデックスの非負性は、$\mathbb{P}^n$ 上のPfaff系のPoincaré問題の解法をどのように妨げるか？

主な発見

• GSVインデックスはwell-definedであり、Pfaff系 $\omega$、多様体 $V$、およびその既約成分 $S_i$ のみに依存する。
• インデックスはトポロジカルな公式 $\sum_i \text{GSV}(\omega, V, S_i)[S_i] = c_1([N \otimes \det(N_{V/X})^{-1}])|_V \frown [V]$ を満たす。
• もし $S_i \cap \text{Sing}(V) = \emptyset$ であれば、公式 $\text{GSV}(\omega, V, S_i) = \text{ord}_{S_i}(a_I|_V) - \text{ord}_{S_i}(\Delta_I|_V)$ により、GSVインデックスは非負である。
• もし $V$ が滑らかであれば、GSVインデックスは正である。なぜなら $\text{ord}_{S_i}(\Delta_I|_V) = 0$ かつ $\text{ord}_{S_i}(a_I|_V) > 0$ となるからである。
• ランクkのPfaff系 $\omega \in H^0(\mathbb{P}^n, \Omega^k_{\mathbb{P}^n}(d+k+1))$ が、multidegree $(d_1, \dots, d_k)$ の完全交差多様体 $V$ に不変であるとき、$\sum_i \text{GSV}(\omega, V, S_i) \cdot \deg(S_i) = [d + k + 1 - (d_1 + \cdots + d_k)] \cdot (d_1 \cdots d_k)$ が成り立つ。
• GSVインデックスの非負性は、次数の上限 $d_1 + \cdots + d_k \leq d + k + 1$ を意味し、Poincaré問題の解法を妨げる。