[論文レビュー] Guaranteed Accuracy for Conic Programming Problems in Vector Lattices

Christian Jansson|ArXiv.org|Jul 30, 2007

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一般のベクターラティスにおける線形コーン最適化問題について、すべての浮動小数点丸め誤差を考慮した数学的に厳密な前方誤差境界を提示する。線形計画法（LP）、第二順序コーン計画法（SOCP）、半正定値計画法（SDP）のための保証された精度の公式を導出し、ε-最適解に対する弱い有界性条件を用いることで、ill-posed問題に対しても検証可能な解の検証が可能になる。

ABSTRACT

This paper presents rigorous forward error bounds for linear conic optimization problems. The error bounds are formulated in a quite general framework; the underlying vector spaces are not required to be finite-dimensional, and the convex cones defining the partial ordering are not required to be polyhedral. In the case of linear programming, second order cone programming, and semidefinite programming specialized formulas are deduced yielding guaranteed accuracy. All computed bounds are completely rigorous because all rounding errors due to floating point arithmetic are taken into account. Numerical results, applications and software for linear and semidefinite programming problems are described.

研究の動機と目的

• コーン最適化におけるすべての浮動小数点丸め誤差を考慮した数学的に厳密な前方誤差境界の開発。
• 無限次元ベクトル空間および非多面体コーンへの誤差解析の拡張。これにより、先行研究を一般化する。
• 病的・悪条件のコーン最適化問題において、最適値、実行可能性、非実行可能性の保証された精度証明の提供。
• 実装されたソフトウェアと数値結果を用いて、線形および半正定値プログラミングにおける検証可能な数値計算の実現。
• 条件数が無限大である場合でも、ε-最適解に対する弱い有界性条件が、数学的に厳密な誤差境界を可能にすることの証明。

提案手法

• 関数解析の枠組みを用いて、一般のベクターラティスにおける前方誤差境界を定式化し、無限次元空間を含む。
• 区間演算および検証計算技術を適用し、浮動小数点演算に起因するすべての丸め誤差を伝搬・境界化する。
• 線形計画法（LP）、第二順序コーン計画法（SOCP）、半正定値計画法（SDP）のための特殊化された誤差公式を導出する。
• リネガルの条件数を感度解析の基盤とし、最適値誤差の立方根の境界と結びつける。
• 従来の手法が失敗する病的ケースにおいても誤差境界を可能にするために、ε-最適解に対する弱い有界性条件を導入する。
• 検証可能な数値手法を用い、実際の計算において保証された境界を計算するためのソフトウェア実装を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元性や多面体コーンを仮定しない一般のベクターラティスにおけるコーン最適化問題について、数学的に厳密な前方誤差境界を導出可能か？
• RQ2 コーンプログラムの最適値計算において、すべての浮動小数点丸め誤差を体系的にどのように扱えるか？
• RQ3 条件数が無限大であるような病的問題に対しても、保証された精度を達成可能か？
• RQ4 ε-最適解に対する弱い有界性条件は、悪条件インスタンスにおける数学的に厳密な誤差境界を可能にする役割を果たすか？
• RQ5 標準的なコーン問題（LP、SOCP、SDP）において、導出された誤差境界は実際の計算でどのように比較されるか？

主な発見

• 本稿は、一般のベクターラティスにおける線形コーン最適化問題について、数学的に厳密な前方誤差境界を成功裏に導出した。無限次元空間を含む。
• 計算されたすべての境界は数学的に保証されており、浮動小数点演算に起因するすべての丸め誤差が明示的に考慮されている。
• LP、SOCP、SDPのための特殊化された公式により、検証可能な精度が得られ、信頼性のある解の検証が可能になった。
• ε-最適解に対する弱い有界性条件を活用することで、従来の手法が失敗する病的問題に対しても誤差境界が提供された。
• 数値結果およびソフトウェア実装により、標準的なコーン問題において本手法の実用的妥当性と精度が示された。
• 境界が、非実行性への相対的距離の逆数の立方に依存することが示され、リネガルが確立した理論的感度限界が裏付けられた。