[論文レビュー] Guaranteed and computable bounds of approximation errors for the semi-discrete Biot problem

K. Suresh Kumar, Svetlana Matculevich+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、implicit Euler時間離散化を用いた半離散Biot問題に対する保証付きで完全に計算可能な後験的誤差境界を提示する。Ostrowski型推定と関数型誤差主要化を組み合わせることで、メッシュに依存しないエネルギーノルム誤差制御を達成し、任意の適合離散化に適用可能となる。これにより、適応型メッシュ・エンリッチメントに向けた信頼性の高い誤差指標が得られる。

ABSTRACT

The paper is concerned with guaranteed and fully computable a posteriori error estimates for evolutionary problems associated with the poroelastic media governed by the quasi-static linear Biot equations (Biot, 1955). It addresses the question of approximation error control, which arises in the iterative and monolithic approaches used for semi-discrete approximations obtained by the implicit Euler time-discretization scheme. The derivation of the error bounds is based on a combination of the Ostrowski-type estimates (Ostrowski, 1972) derived for iterative schemes and a posteriori error estimates of the functional type for elliptic problems originally (also called error majorants and minorants) introduced in (Repin, 1997, 2000). The validity of the first estimates is based on the contraction property of the fixed stress splitting scheme (Mikelic and Wheeler, 2013, Mikelic, Wang, and Wheeler, 2014) used for decoupling. The error bounds are applicable for any approximation from the admissible functional space and independent of the discretisation method used. They are fully computable and do not contain mesh dependent constants. Functional estimates provide the reliable global estimates of the error measured in the terms of the energy norm and suggest efficient error indicators for the distribution of local errors that is advantageous for automated mesh adaptation algorithms.

研究の動機と目的

• 静的線形Biot方程式に従う多孔質弾性体の反復的および一本化スキームにおける信頼性の高い誤差推定の課題に取り組む。
• 離散化手法に依存せず、メッシュ依存定数を含まない計算可能な誤差境界を開発する。
• 誤差推定が完全に計算可能であり、許容可能な関数空間内に存在する任意の近似に適用可能であることを保証する。
• エネルギーノルムにおける信頼性の高いグローバル誤差推定と、適応型メッシュ・エンリッチメントに適した効率的な局所誤差指標を提供する。
• 固定応力分割スキームの収縮性を用いて理論的妥当性を確立する。

提案手法

• 反復スキームに適用可能なOstrowski型推定を用いて、固定応力分割手順における誤差を制限する。
• 楕円型問題に最初に開発された関数型後験的誤差推定（誤差主要化および下位化）を統合する。
• 固定応力分割スキームの収縮性を活用して、誤差境界の収束性と信頼性を保証する。
• 未知の定数を必要とせず、離散解と問題のデータから完全に計算可能な誤差境界を構築する。
• 許容可能な関数空間内に存在する任意の適合有限要素近似に対して境界が有効であることを保証する。
• エネルギーノルムにおけるグローバル誤差推定と、適応型メッシュ生成戦略に適した局所誤差指標を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反復ソルバーを用いた半離散Biot問題に対して、保証付きで完全に計算可能な後験的誤差境界を導出できるか？
• RQ2 離散化手法に依存せず、メッシュ依存定数を含まない誤差推定をどのように構築できるか？
• RQ3 関数型誤差主要化が、多孔質弾性問題におけるエネルギーノルムでの信頼性の高いグローバル誤差制御をどの程度達成できるか？
• RQ4 誤差境界が、正確な局所誤差指標を用いて効果的に局所的メッシュ適合を駆動できるか？
• RQ5 固定応力分割スキームの文脈において、誤差推定の有効性を保証する理論的条件は何か？

主な発見

• 提案された誤差境界は完全に計算可能であり、メッシュ依存定数を一切含まないため、異なる離散化手法に対しても強固である。
• 誤差推定は、基礎となる有限要素法にかかわらず、許容可能な関数空間内に存在する任意の近似に対して有効である。
• 境界はエネルギーノルムで測定された誤差の信頼性の高いグローバル推定を提供し、信頼できる誤差監視を可能にする。
• 関数型誤差主要化は、自動メッシュ適合アルゴリズムをガイドするのに適した効率的な局所誤差指標を生成する。
• 理論的基盤は、固定応力分割スキームの収縮性に依存しており、誤差推定フレームワークの収束性と安定性を保証する。
• 本手法はOstrowski型解析と関数型後験的推定を組み合わせることで、変化する多孔質弾性問題に対する新規で厳密な誤差制御メカニズムを提供する。