[論文レビュー] Guidable Local Hamiltonian Problems with Implications to Heuristic Ansatz State Preparation and the Quantum PCP Conjecture

Jordi Weggemans, Marten Folkertsma+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2023

Bayesian Modeling and Causal Inference被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、与えられたが、提供されない『ガイド可能な局所ハミルトニアン』問題を導入し、量子計算および古典的計算との関係におけるその複雑さを確立する。この問題が逆多項式の精度においてQCMA完全であることを証明する一方で、ガイド状態が古典的に評価可能である場合にはNPに属することを示し、量子アーンツ準備および量子PCP予想に関する新たな知見を提供する。

ABSTRACT

We study 'Merlinized' versions of the recently defined Guided Local Hamiltonian problem, which we call 'Guidable Local Hamiltonian' problems. Unlike their guided counterparts, these problems do not have a guiding state provided as a part of the input, but merely come with the promise that one exists. We consider in particular two classes of guiding states: those that can be prepared efficiently by a quantum circuit; and those belonging to a class of quantum states we call classically evaluatable, for which it is possible to efficiently compute expectation values of local observables classically. We show that guidable local Hamiltonian problems for both classes of guiding states are $\mathsf{QCMA}$-complete in the inverse-polynomial precision setting, but lie within $\mathsf{NP}$ (or $\mathsf{NqP}$) in the constant precision regime when the guiding state is classically evaluatable. Our completeness results show that, from a complexity-theoretic perspective, classical Ansätze selected by classical heuristics are just as powerful as quantum Ansätze prepared by quantum heuristics, as long as one has access to quantum phase estimation. In relation to the quantum PCP conjecture, we (i) define a complexity class capturing quantum-classical probabilistically checkable proof systems and show that it is contained in $\mathsf{BQP}^{\mathsf{NP}[1]}$ for constant proof queries; (ii) give a no-go result on 'dequantizing' the known quantum reduction which maps a $\mathsf{QPCP}$-verification circuit to a local Hamiltonian with constant promise gap; (iii) give several no-go results for the existence of quantum gap amplification procedures that preserve certain ground state properties; and (iv) propose two conjectures that can be viewed as stronger versions of the NLTS theorem. Finally, we show that many of our results can be directly modified to obtain similar results for the class $\mathsf{MA}$.

研究の動機と目的

• ガイド状態が保証的に存在するが、入力として与えられない場合の局所ハミルトニアン問題の複雑さを調査し、特に、量子回路で効率的に準備可能な状態と、古典的に評価可能な状態の2つのクラスに焦点を当てる。
• 量子位相推定の文脈において、ヒューリスティックな量子アーンツ状態準備にこれらの問題が与える影響を調査する。
• 量子PCP予想との関連を検討し、既知の量子還元をデキューイング可能にする可能性や、ギャップ拡大手順の存在を含む。
• NLTS定理のより強い版、例えばNLCESおよびStrong-NLCES予想を提案・分析し、量子PCP予想の証明への道筋とみなす。

提案手法

• ガイド状態の存在が保証されるが、入力として与えられないという、保証付きのバリエーションとして『ガイド可能な局所ハミルトニアン』(g-LH)問題を導入する。
• ガイド状態の2つのクラスを分析する：量子回路で効率的に準備可能な状態（QCMA完全性に導く）と、古典的に評価可能な状態（定数精度下でNPに属する）。
• スペクトル拡大技術を適用し、古典的に評価可能な状態に対しては、低エネルギー部分空間を古典的に効率的に特徴づけられることを示し、NP包含性を実現する。
• 量子-古典的確率的チェック可能証明（QCPCP）の複雑さクラスを定義し、定数個の証明クエリを持つQCPCPがBQPNP[1]に含まれることを示す。
• 量子-古典的ギャップ拡大に対するノーゴー定理を証明し、古典的に評価可能な性質を保つような任意のギャップ拡大手順は、QCMAをNPに収縮させることを示す。
• NLTSのより強い代替案としてNLCESおよびStrong-NLCES予想を提示・分析し、それらが量子PCP予想の妥当性と関連することを検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数精度下で、ガイド状態が古典的に評価可能な場合のガイド可能な局所ハミルトニアン問題の計算複雑度は何か？
• RQ2 既知のQPCP検証回路から局所ハミルトニアンへの量子還元を、複雑さクラスを崩さずに古典的手法でデキューイング可能か？
• RQ3 量子ギャップ拡大手順に、基底状態の古典的に評価可能な性質を保つ障壁が根本的に存在するか？
• RQ4 古典的に評価可能なガイド状態が量子PCP予想に与える影響は何か？ また、それらはNLTS定理のより強い版に繋がるか？
• RQ5 QCMAの結果はMA複雑さクラスにどのように拡張可能か？ それに対応するPCP文は何か？

主な発見

• 定数精度下では、古典的に評価可能なガイド状態を伴うガイド可能な局所ハミルトニアン問題はNP（またはNqP）に含まれるが、逆多項式の精度下ではQCMA完全である。
• 本稿は、古典的ヒューリスティクスによって選ばれた古典的アーンツが、量子ヒューリスティクスによって準備された量子アーンツと同等の計算的パワーを持つことを示している。ただし、量子位相推定が利用可能であることが前提である。
• 任意の多項式時間の古典的還元が、逆多項式ギャップを持つ古典的にガイド可能な局所ハミルトニアン問題を定数ギャップ版に還元する場合、QCMA = NP が成立することを証明する。
• 逆多項式ギャップから定数ギャップへの準多項式時間の古典的還元が存在するならば、QCMA ⊆ NqP が成立するが、これは極めて不自然と見なされている。
• 本稿はNLCES予想を提示し、これは、任意の古典的に評価可能な状態が、局所ハミルトニアン族の基底状態エネルギーに近いエネルギーを持てないことを主張する。
• Strong-NLCES予想はこれを強化し、任意の古典的に評価可能な状態が低エネルギー部分空間と重なり合う割合が o(1/poly(n)) に減少することを要請し、デキューイングに対するより強固な障壁を提供する。