[論文レビュー] H^1 and BMO for certain nondoubling metric measure spaces

Antonella Carbonaro, Giancarlo Mauceri+1 more|ArXiv.org|Aug 1, 2008

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 41被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、非局所的双曲的測度空間（グローバルには非倍加だが局所的には倍加）で、等周性や近似的中点性を含む幾何的条件下の下で、原子的 Hardy 空間 $H^1$ とそれに対応する $BMO$ 空間を構築する。$H^1$ と $BMO$ の双対性、小球上での John–Nirenberg 不等式、$H^1$ から $L^1$ への特異積分作用素の有界性、および $L^\frown$ から $BMO$ への有界性を確立し、古典的理論を倍加測度を超えて拡張する。

ABSTRACT

Suppose that (M,d,m) is an unbounded metric measure space, which possesses two geometric properties, called "isoperimetric property" and "approximate midpoint property", and that the measure m is locally doubling. The isoperimetric property implies that the volume of balls grows at least exponentially with the radius. Hence the measure m is not globally doubling. In this paper we define an atomic Hardy space H1(m), where atoms are supported only on "small balls", and a corresponding space BMO(m) of functions of bounded mean oscillation, where the control is only on the oscillation over small balls. We prove that BMO(m) is the dual of H1(m) and that an inequality of John-Nirenberg type on small balls holds for functions in BMO(m). Furthermore, we show that the Lp(m) spaces are intermediate spaces between H1(m) and BMO(m), and we develop a theory of singular integral operators acting on function spaces on M. Finally, we show that our theory is strong enough to give H1(m)-L1(m) and L1(m)-BMO(m) estimates for various interesting operators on Riemannian manifolds and symmetric spaces which are unbounded on L1(m) and on L\infty(m).

研究の動機と目的

• グローバルには非倍加だが局所的には倍加である測度空間への古典的 $H^1$ および $BMO$ 理論の拡張を目的とする。
• 小球（半径 ≤ b）のみに依存する定義を用いて、原子的および振動に基づく定義を非倍加設定に適応して $H^1$ と $BMO$ 空間を定義する。
• 小球に制限された $H^1$ と $BMO$ 間の双対性および John–Nirenberg 不等式の確立。
• 実および複素補間における $H^1$ と $BMO$ 間の $L^p$ 空間の中間性の証明。
• Riesz 変換やフーリエ乗数作用素を含む特異積分作用素が、このような空間上での $H^1$ から $L^1$ および $L^\frown$ から $BMO$ への有界性を示すこと。

提案手法

• 半径が $b$ 以下の球に制限した原子と振動制御を用いて $H^1_b(\mu)$ と $BMO_b(\mu)$ を定義し、スケール依存的だが一貫性のある定義を保証する。
• 測度の振る舞いを制御するための幾何的仮定として、等周性（指数的体積増加）と近似的中点性（AMP）を導入する。
• スケール $b$ に依存しない $H^1_b(\mu)$ と $BMO_b(\mu)$ の定義の不変性を証明し、定義の安定性を確立する。
• ダイアディック分解と切り捨て関数 $\psi$ および $1-\psi$ を用いたカーネル局在化により、作用素を局所的およびグローバル部分に分割する。
• 定理 8.2 からの核条件 $\nu_t < \infty$ および $\upsilon_t < \infty$ の検証により、局在化作用素 $\mathcal{T}_{k_0}$ の有界性を確立する。
• チューブ $\mathbf{T}$ 上での Mihlin–Hörmander 乗数条件を適用し、$L^2$ 有界性を保証し、補間および双対性を用いて $H^1$–$L^1$ および $L^\frown$–$BMO$ 有界性に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバルには非倍加だが局所的には倍加である測度空間上に、うまく定義された $H^1$–$BMO$ 理論を構築できるか？
• RQ2 測度がグローバルには非倍加であるが、幾何的制約のもとで $H^1$ と $BMO$ 間の双対性は成立するか？
• RQ3 非倍加設定において、小球（半径 ≤ b）に制限した場合に $BMO$ 関数に対して John–Nirenberg 不等式が成立するか？
• RQ4 この設定において、実および複素補間のもとで $L^p$ 空間が $H^1$ と $BMO$ 間の中間空間として成立するか？
• RQ5 Riesz 変換やフーリエ乗数作用素などの特異積分作用素が、$H^1$ から $L^1$ および $L^\frown$ から $BMO$ への有界性を有するか？

主な発見

• 空間 $H^1_b(\mu)$ と $BMO_b(\mu)$ はスケールパラメータ $b$ に依存しない。これはスケール間の一貫性を保証する。
• $H^1(\mu)$ の双対空間は $BMO(\mu)$ に等長同型に同型であり、倍加空間における古典的双対性を拡張する。
• 幾何的仮定のもとで、$BMO(\mu)$ に属する関数に対して、半径が $b$ 以下の小球に制限した John–Nirenberg 不等式が成立する。
• すべての $p \in (1,\infty)$ に対して $L^p(\mu)$ 空間は、実および複素補間のもとで $H^1(\mu)$ と $BMO(\mu)$ 間の中間空間である。
• Mihlin–Hörmander 乗数が $\kappa > (\dim X)/2 + 1$ を満たす特異積分作用素は、$H^1(\mu)$ から $L^1(\mu)$ および $L^\frown(\mu)$ から $BMO(\mu)$ への有界性を有する。
• 局在化 Riesz 変換 $\nabla(\mathcal{L}+\varepsilon)^{-1/2}$ は $H^1(\mu)$ から $L^1(\mu)$ への有界作用素に拡張され、等周性が成り立つ場合には、$p \in (1,2)$ に対して $L^p$ 有界性に補間される。