[論文レビュー] $H^1$-scattering for systems of $N$-defocusing weakly coupled NLS equations in low space dimensions

Biagio Cassano, Mirko Tarulli|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、低次元（$d=1,2,3$）における $N \geq 2$ 個の焦点的でない弱く結合された非線形シュレーディンガー方程式系に対して、新しい相互作用モラウェッツ推定式と局所化された非線形項に基づく背理法を導入することで、$H^1$-散乱を確立する。主な結果は、非線形性指数 $p$ および結合パラメータ $eta_{\mu\nu} \geq 0$、$eta_{\mu\mu} \neq 0$ に対して鋭い条件のもとで、エネルギー空間 $H^1(\mathbb{R}^d)^N$ における波動作用素および散乱作用素の定義可能性と全単射性が保証されることである。本手法は $N$ 成分系の取り扱いを統一し、方程式の数に依存しない $H^1$ 散乱のスムーズな証明を可能にする。

ABSTRACT

We prove that the scattering operators and wave operators are well-defined in the energy space for the system of defocusing Schrödinger equations $$ \begin{cases} i\partial_t u_μ+ Δu_μ- \sum_{μ,ν=1 }^N β_{μν}|u_ν|^{p+1}|u_μ|^{p-1}u_μ=0, \quad\quad μ=1,\dots,N,\\(u_μ(0,\cdot))_{μ=1}^N= (u_{μ,0})_{μ=1}^N \in H^1(\mathbb R^d)^N. \end{cases} $$ with $N\geq 2$, $β_{μν} \geq 0$, $β_{μμ} eq 0$ for $p>2 $ if $d=1$, $p>1 $ if $d=2$ and $ 1 \leq p < 2$ if $d=3$.

研究の動機と目的

• $N \geq 2$ 個の焦点的でない弱く結合された非線形シュレーディンガー方程式系について、エネルギー空間 $H^1(\mathbb{R}^d)^N$ における漸近的完全性および波動作用素の存在を確立すること。
• 単一の NLS 方程式からの散乱理論を結合系へ拡張するために、成分間の非線形性に起因する技術的困難を克服すること。
• 方程式の数 $N$ に依存しない、一様な一括証明による散乱の確立。
• 文献[2]の非線形理論を結合 NLS 系へ一般化し、低次元設定における $H^1$ 散乱の証明に応用すること。

提案手法

• 単一 NLS に対しては[27]で提唱された古典的形式を一般化し、結合系に特化した新しい相互作用モラウェッツ恒等式および不等式を導出する。
• 時空立方体上でのモラウェッツ不等式の非線形部を局所化し、解の $L^q$-ノルムの減衰を制御する。
• 局所化された非線形推定に基づく背理法を用いて、解が $H^1$ で漸近的に自由解と一致することを示す。
• 局所化されたソボレフ埋め込み推定（補題 A.1）を適用し、立方体上での $L^2$-esssup と $H^1$-ノルムを用いて $L^{\frac{2d+4}{d}}$-ノルムを制御し、非線形項の制御を可能にする。
• 空間の均一性を保つために、並進不変性推定式と $\mathbb{R}^d$ の立方体被覆を用いる。これにより、空間全体にわたる一様な制御が得られる。
• 結合構造 $\beta_{\mu\nu} \geq 0$、$\beta_{\mu\mu} \neq 0$ を活用し、焦点的性質とエネルギー下臨界性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低次元における $N$ 成分の焦点的でない弱く結合された NLS 系について、$p$ および $\beta_{\mu\nu}$ がどのような条件下で、$H^1(\mathbb{R}^d)^N$ における散乱作用素が定義可能となるか。
• RQ2 $N$ に依存しない一様な証明法により、結合 NLS 系について漸近的完全性および波動作用素の存在が示せるか。
• RQ3 相互作用モラウェッツ推定式をどのように結合系に適応させれば、$t \to \pm\infty$ のときの解の $L^q$-ノルムの減衰を制御できるか。
• RQ4 局所化された非線形モラウェッツ推定式は、解が $H^1$ で散乱することを証明するために果たす役割は何か。
• RQ5 文献[30]で用いられた単一 NLS 方程式の手法を、局所化エネルギーの分離や複雑な分解技術を要せず、系へ拡張できるか。

主な発見

• 条件 $p$ および $\beta_{\mu\nu}$ が満たされるとき、$N \geq 2$ 個の結合焦点的でない NLS 方程式系について、エネルギー空間 $H^1(\mathbb{R}^d)^N$ における散乱作用素および波動作用素は定義可能かつ全単射である。
• $d=1$ のとき $p > 2$、$d=2$ のとき $p > 1$、$d=3$ のとき $1 \leq p < 2$ が要求され、エネルギー下臨界性および適切な定式化が保証される。
• 初期データ $(u_{\mu,0})_{\mu=1}^N$ が $H^1(\mathbb{R}^d)^N$ に属する限り、解 $(u_\mu)_{\mu=1}^N$ は $H^1(\mathbb{R}^d)^N$ で散乱する。すなわち、$t \to \pm\infty$ のとき $\|u_\mu(t) - e^{it\Delta}u_{\mu,0}^{\pm}\|_{H^1} \to 0$ となる。
• 波動作用素の存在が証明された。任意の漸近的データ $(u_{\mu,0}^{\pm})_{\mu=1}^N \in H^1(\mathbb{R}^d)^N$ に対して、それらに散乱する唯一の全域解が存在する。
• 文献[24]で用いられた局所化エネルギーの分離手法を回避し、任意の $N \geq 2$ に対して適用可能なより単純で一般性の高い証明を提供する。
• 新たな局所化されたソボレフ型不等式（補題 A.1）が導出され、$\|\phi\|_{L^{\frac{2d+4}{d}}({\mathbb{R}}^d)^\alpha}^{\frac{2d+4}{d}} \leq C \left(\sup_x \|\phi\|_{L^2(Q_x)^\alpha}\right)^{\frac{4}{d}} \|\phi\|_{H^1({\mathbb{R}}^d)^\alpha}^2$ が成り立つ。この不等式は非線形項の制御に不可欠である。