[論文レビュー] H-Convex Riemannian Submanifolds

Constantin Udrişte, Tudor I. Oprea|ArXiv.org|Nov 1, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、任意のcodimensionを持つRiemann多様体の部分多様体に対して、超曲面の単位法ベクトルを平均曲率ベクトルに置き換えることで、H-凸性を導入する。第二基本形式と平均曲率を含む双線形形式の正定性による特徴付けを確立する。主な貢献は、平均曲率に関連するWeingarten作用素が正定値であれば、部分多様体は厳密にH-凸であるという十分条件の特定であり、これは古典的な凸性概念を高次元codimensionへ一般化し、曲率条件と幾何的凸性を結びつける。

ABSTRACT

Having in mind the well known model of Euclidean convex hypersurfaces [4], [5], and the ideas in [1] many authors defined and investigate convex hypersurfaces of a Riemannian manifold. As it was proved by the first author in [7], there follows the interdependence between convexity and Gauss curvature of the hypersurface. In this paper we define $H$-convexity of a Riemannian submanifold of arbitrary codimension, replacing the normal versor of a hypersurface with the mean curvature vector $H$. A characterization, used by B.Y. Chen [2], [3] as the definition of strictly $H$-convexity, it is obtained.

研究の動機と目的

• Riemann多様体内の任意codimensionの部分多様体に対して、超曲面の凸性概念を一般化すること。
• 単位法ベクトルを平均曲率ベクトル場に置き換えることでH-凸性を定義すること。
• 第二基本形式と平均曲率を含む双線形形式の正定性に基づく、H-凸性の必要十分条件を確立すること。
• H-凸性を曲率不変量、特に実空間形式におけるk階リッチ曲率と結びつけること。
• 非自明な平均曲率を持つ曲線が常に厳密にH-凸な部分多様体であることを示すこと。

提案手法

• 指数写像と実数値関数 F(y) = ω_x(exp_x^{-1}(y)) を用いて、点 x におけるH-凸性を定義する。ここで ω は平均曲率ベクトル H に付随する1形式である。
• F の零点集合として完全測地的超曲面 TGH_x を導入し、近傍を TGH_x^- と TGH_x^+ に分割する。
• 必要条件の確立：M が点 x でH-凸であるならば、双線形形式 Ω_x(X,Y) = g(h(X,Y), H) は半正定値である。
• Ω_x が正定値であれば、M は点 x で厳密にH-凸であることを、F のMへの制限されたヘッセ行列を用いて証明する。
• H に関連するWeingarten作用素 A_H を用いて、Ω_x の定性を特徴付ける。
• 実空間形式への応用において、H-凸性をk階リッチ曲率 θ_k(x) と関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Riemann多様体内の任意codimensionの部分多様体に対して、超曲面の古典的凸性概念を一般化できるか？
• RQ2 高次元codimensionの部分多様体の凸性を定義する際、適切な単位法ベクトルの置き換えは何であるか？
• RQ3 第二基本形式と平均曲率ベクトルにどのような条件下で、部分多様体がH-凸または厳密にH-凸になるか？
• RQ4 H-凸性は、実空間形式におけるk階リッチ曲率などの曲率不変量とどのように関係するか？
• RQ5 非自明な平均曲率を持つ曲線は、常に厳密にH-凸な部分多様体であるか？

主な発見

• 部分多様体 M が点 x でH-凸であるための必要十分条件は、双線形形式 Ω_x(X,Y) = g(h(X,Y), H) が半正定値であることである。
• 双線形形式 Ω_x が正定値であれば、部分多様体 M は点 x で厳密にH-凸である。
• 非自明な平均曲率を持つ曲線では、双線形形式 Ω が正定値であるため、このような曲線は厳密にH-凸である。
• 曲率 c の実空間形式において、ある k ∈ [2,n] に対してk階リッチ曲率 θ_k(x) > c であれば、部分多様体は点 x で厳密にH-凸である。
• 実空間形式における超曲面では、点 x で厳密にH-凸であることは、点 x の断面曲率が c を上回ることを意味し、したがってすべての k ∈ [2,n] に対して θ_k(x) > c である。
• Weingarten作用素 A_H が正定値であるための必要十分条件は、双線形形式 Ω_x が正定値であることである。これにより、H-凸性のスペクトル的特徴づけが得られる。