[論文レビュー] H-distribution via Sobolev spaces

J. Aleksić, Stevan Pilipović+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2016

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Sobolev空間 $W^{-k,p}({\bf{R}}^d)$ における H-分布の理論を拡張し、シュワルツ関数と球面上の滑らか関数のテンソル積空間を用いた新しい枠組みを導入する。弱収束する列 $u_n \rightharpoonup 0$ が、任意の $\varphi \in \mathcal{S}({\bf{R}}^d)$ による局所化で $W^{-k,p}$ 内で強収束するための必要十分条件は、すべての関連する H-分布が消えることであると証明しており、1階線形偏微分方程式や強収束の基準への応用を含む。

ABSTRACT

H-distributions associated to weakly convergent sequences in Sobolev spaces are determined. It is shown that a weakly convergent sequence $(u_n)$ in $W^{-k,p}( \R^d)$ has the property that $θu_n$ converges strongly in $W^{-k,p}(\R^d)$ for every $θ\in\mathcal S(\R^d)$ if and only if all H-distributions related to this sequence are equal to zero. Results are applied on a weakly convergent sequence of solutions to a family of linear first order PDEs.

研究の動機と目的

• $L^p$ 空間から $W^{-k,p}({\bf{R}}^d)$ への H-分布の概念の一般化を図ること。
• H-分布を定義するための新しいテンソル積空間 $\mathcal{SE}({\bf{R}}^d \times \mathbf{S}^{d-1})$ を確立すること。
• $u_n \rightharpoonup 0$ のとき、任意の $\varphi \in \mathcal{S}({\bf{R}}^d)$ に対して $\varphi u_n$ が $W^{-k,p}$ 内で強収束するための必要十分条件が、すべての関連 H-分布が消えることであることを証明すること。
• 1階線形偏微分方程式の弱収束列解に理論を応用し、特徴的集合上での H-分布の台を特定すること。

提案手法

• $\mathcal{SE}({\bf{R}}^d \times \mathbf{S}^{d-1})$ を、$\mathcal{S}({\bf{R}}^d) \hat{\otimes} \mathcal{E}(\mathbf{S}^{d-1})$ の完備化として導入し、調和振動子とラプラス＝ベルトラミ作用素を含むノルムを備える。
• $W^{-k,p} \times W^{k,q}$ における双対性を用いて H-分布を定義し、フーリエ乗数構造と非局所的試験関数を用いる。
• コンact多様体上のソボレフ埋没とエルミート基底展開を用いて、$\mathcal{SE}$ 上のノルムの同値性を確立する。
• $W^{-k,p} \times W^{k,q}$ の双対性を用いて、H-分布を $\mathcal{SE}$ 上の連続線形汎関数として定義し、適切な定式化を保証する。
• $\varphi u_n \to 0$ がすべての $\varphi \in \mathcal{S}({\bf{R}}^d)$ に対して $W^{-k,p}$ 内で強収束するための必要十分条件が、すべての H-分布が消えることであることを証明する。
• $\sum_{i=1}^d \partial_i(A_i(x)u_n) = f_n$ の解 $u_n$ に理論を適用し、H-分布の台が特徴的集合 $\{ (x,\xi) : \sum A_i(x)\xi_i = 0 \}$ に含まれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱収束列 $u_n \rightharpoonup 0$ が、シュワルツ関数による局所化で $W^{-k,p}({\bf{R}}^d)$ 内で強収束するための条件は何か？
• RQ2 負の順序のソボレフ空間における H-分布をどのように厳密に定義できるか？
• RQ3 すべての H-分布が消えることと、$\varphi u_n$ が $W^{-k,p}$ 内で強収束することとの関係は何か？
• RQ4 H-分布は、1階線形偏微分方程式の解における特異点の伝播をどのように特徴づけるか？
• RQ5 H-分布理論を $L^p$ から $W^{-k,p}$-値列と非局所的試験関数を含む範囲に拡張できるか？

主な発見

• $u_n \rightharpoonup 0$ である弱収束列が、任意の $\varphi \in \mathcal{S}({\bf{R}}^d)$ に対して $\varphi u_n \to 0$ として $W^{-k,p}$ 内で強収束するための必要十分条件は、すべての関連 H-分布が消えることである。
• $\mathcal{SE}({\bf{R}}^d \times \mathbf{S}^{d-1})$ は、$\mathcal{S}({\bf{R}}^d) \hat{\otimes} \mathcal{E}(\mathbf{S}^{d-1})$ に等長同型であり、ソボレフ設定における H-分布の自然な定義域を提供する。
• $u_n \rightharpoonup 0$ である $W^{-k,p}$ 内の列に対して、H-分布は $\mathcal{SE}({\bf{R}}^d \times \mathbf{S}^{d-1})$ 上の連続線形汎関数として適切に定義され、$L^p$ からの結果の拡張を実現する。
• $\sum_{i=1}^d \partial_i(A_i(x)u_n) = f_n$ の解 $u_n$ に対して、H-分布は特徴的集合 $\{(x,\xi) : \sum A_i(x)\xi_i = 0\}$ に台を持つ。ただし $\varphi f_n \to 0$ が $W^{-k-1,p}$ 内で成り立つものとする。
• 列 $u_n$ に関連するすべての H-分布がゼロであれば、任意の $\varphi \in \mathcal{S}({\bf{R}}^d)$ に対して $\varphi u_n \to 0$ が $W^{-k,p}({\bf{R}}^d)$ 内で強収束する。これは強収束の鋭い基準を提供する。
• 古典的な $L^2$ や $L^p$ における H-分布理論は、$W^{-k,p}$ に拡張され、非局所的解析を可能にし、均質化や保存則への応用を一般化する。