[論文レビュー] H(div) and H(curl)-conforming VEM

L. Beirão da Veiga, Franco Brezzi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 47被引用数 45

ひとこと要約

本稿は、一般の多角形および多面体メッシュに拡張された、H(div)およびH(curl)-適合型仮想有限要素法（VEM）を提案する。これは、従来のRaviart-ThomasおよびBDM有限要素法を三角形／四面体メッシュに限定されないものへと拡張するものである。安定的で多項式を保存する射影演算子を構築し、VEM空間の正確な系列を確立することで、直接的な要素単位のPDE解法を伴わず、非構造的多角形／多面体メッシュ上での高次混合型弱形式を可能にする。

ABSTRACT

In the present paper we construct Virtual Element Spaces that are $H({ m div})$-conforming and $H({ m \bf curl})$-conforming on general polygonal and polyhedral elements; these spaces can be interpreted as a generalization of well known Finite Elements. We moreover present the basic tools needed to make use of these spaces in the approximation of partial differential equations. Finally, we discuss the construction of exact sequences of VEM spaces.

研究の動機と目的

• 従来の単体ベースの方法に制限を受けることなく、一般の多角形および多面体要素へのH(div)およびH(curl)-適合型有限要素法の拡張を図ること。
• 多項式の一貫性を保ち、高次近似を可能にする、安定的かつ計算可能な局所的VEM空間の開発。
• 直接的な基底関数の評価を伴わず、多項式部分空間へのL²射影演算子の構築により、効率的な行列アセンブリを可能にする。
• 2次元および3次元において、VEM空間の正確な系列を確立し、混合型弱形式の整合性を保証すること。
• 面、辺、要素における多項式次数を独立して制御できる柔軟なフレームワークを提供し、特定のPDEに適応可能なVEM空間の変種を構築すること。

提案手法

• 面、辺、要素におけるモーメントに基づく自由度を用いて、多角形および多面体要素上でのH(div)およびH(curl)-適合型VEM空間を定義する。
• VEM空間から多項式部分空間へのL²射影演算子を構築し、基底関数の明示的知識なしに局所的剛性行列の計算を可能にする。
• 最適収束性を保証するため、関連する多項式部分空間（例：Raviart-ThomasまたはBDMに類似した多項式）がVEM空間に含まれることを保証する。
• 変分的犯罪と一貫性の議論を用いて、局所的射影の存在性と安定性を証明し、最適近似性質を保証する。
• 2次元および3次元におけるVEM空間の正確な系列を、離散de Rham複体の整合性（発散および回転作用素を含む）を検証することで確立する。
• 面（k_b）、発散（k_d）、および回転（k_r）における多項式次数を独立して調整できる一般化されたフレームワークを提案し、特定のPDEに適応可能な変種の構築を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の多角形および多面体要素上でのH(div)およびH(curl)-適合型仮想要素空間をどのように構築すれば、最適収束性を維持できるか？
• RQ2 L²射影演算子は、基底関数の明示的評価なしに局所的剛性行列をアセンブル可能にするために果たす役割は何か？
• RQ3 2次元および3次元において、仮想要素空間の正確な系列を構築できるか。これにより、de Rham複体の構造が保たれるか？
• RQ4 フレームワークを一般化し、面、辺、要素における多項式次数を独立して制御することで、特定のPDEに最適化可能な応用が可能か？
• RQ5 このようなフレームワークは、複雑な幾何形状における混合有限要素法にどのような影響を及えるか？

主な発見

• 提案されたH(div)およびH(curl)-適合型VEM空間は、標準的な形状正則性仮定の下で、一般の多角形および多面体要素において安定的であり、最適収束性を示す。
• 多項式部分空間へのL²射影演算子の構築により、要素単位のPDEを解かずに、効率的かつ正確な局所行列アセンブリが可能になる。
• 2次元および3次元の両方において、VEM空間の正確な系列が確立され、離散de Rham複体が保たれる。これは、混合型弱形式において極めて重要である。
• 面（k_b）、発散（k_d）、および回転（k_r）における多項式次数を独立して調整できるフレームワークにより、複数の変種を構築可能であり、異なるPDEに適応可能である。
• 古典的なRaviart-ThomasおよびBDM要素が、任意の多角形および多面体メッシュへと一般化されつつも、多項式の一貫性および最適近似性といった重要な性質を保持している。
• 理論的結果により、離散解が混合型弱形式における収束に不可欠な適合条件（例：inf-sup安定性）を満たすことが確認された。