[論文レビュー] H infinity Analysis Revisited

Seungil You, Ather Gattami|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2014

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、可観測性の要件を伴わないカルマン–ヤクビッチ–ポポフ（KYP）補題を回避する、LTIシステムの$H_\infty$ノルム計算の新規で直接的なアプローチを提示する。半正定値計画法（SDP）を用い、$H_\infty$ノルムを達成する正弦波入力を明示的に再構成可能であり、可観測性に依存しない強い双対性を確立する。また、新たなSDP定式化により、有限周波数帯域に制限された入力信号に対しても一般化可能である。

ABSTRACT

This paper proposes a direct, and simple approach to the H infinity norm calculation in more general settings. In contrast to the method based on the Kalman-Yakubovich-Popov lemma, our approach does not require a controllability assumption, and returns a sinusoidal input that achieves the H infinity norm of the system including its frequency. In addition, using a semidefinite programming duality, we present a new proof of the Kalman- Yakubovich-Popov lemma, and make a connection between strong duality and controllability. Finally, we generalize our approach towards the generalized Kalman-Yakubovich-Popov lemma, which considers input signals within a finite spectrum.

研究の動機と目的

• LTIシステムにおける$H_\infty$ノルム計算の、可観測性に依存しない直接的かつ明示的な手法の開発。
• 古典的なKYP補題では不可能な、$H_\infty$ノルムを達成する正弦波入力を最適化解から明示的に構成可能にする。
• 低周波、中周波、高周波帯域に制限された入力信号を有するシステムに対し、この手法を一般化すること。
• 半正定値計画法における強い双対性とシステムの可観測性との関係を確立すること。
• 半正定値計画法の双対性を用いてKYP補題の新たな証明を提示すること。

提案手法

• 状態および入力信号の共分散行列$V$を用いて$H_\infty$解析を半正定値計画法（SDP）として定式化し、無限次元最適化を有限次元SDPに置き換える。
• システムのダイナミクスおよびパワー制約から$V$に課される制約を導出し、元の$H_\infty$問題と同等となるように保証する。
• ラグランジュ双対性を用いてSDP定式化の正確性を示し、システムの可観測性に依存せず強い双対性が成立することを証明する。
• 最適な$V$解から最適な正弦波入力を再構成可能とするユニタリ行列分解技術を導入する。
• 入力スペクトルをシフトした周波数ドメインに変換することで、有限周波数帯域の入力集合に対しても同様のSDPフレームワークを適用する。
• スペクトル制約$U + U^* \succeq 2\cos\theta I$を満たすユニタリ行列$U$を計算するためのアルゴリズム2を提案し、入力信号の回復を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カルマン–ヤクビッチ–ポポフ補題およびその可観測性仮定に依存せずに$H_\infty$ノルムを計算可能か？
• RQ2 最適化解から$H_\infty$ノルムを達成する正弦波入力を明示的に再構成可能か？
• RQ3 SDP定式化における強い双対性とシステムの可観測性との関係は何か？
• RQ4 入力信号が有限周波数帯域に制限されたシステムの$H_\infty$ノルムはどのように計算可能か？
• RQ5 提案されたSDP双対性フレームワークから一般化されたKYP補題を導出可能か？

主な発見

• 提案されたSDP定式化は、システムが可観測である必要がないことを前提として$H_\infty$ノルムを正確に計算可能であり、KYP補題の主な制限を克服する。
• SDPの最適解から得られる解は、$H_\infty$ノルムを達成する正弦波入力信号を提供し、その周波数は解から明示的に回復可能である。
• 本稿では、可観測性が強い双対性の成立に十分であるが、必要ではないことを確立し、双対性を用いたKYP補題の新たな証明を提示する。
• 低周波、中周波、高周波帯域の入力制約に対しても、入力スペクトルをシフトして同じSDPフレームワークを適用することで一般化可能である。
• 有限周波数帯域の入力集合に対しては、周波数シフトを施し、同じSDPを解くことで$H_\infty$ノルムが特定周波数帯域上で得られ、最適値がそのノルムを示す。
• アルゴリズム2は、スペクトル制約を満たすユニタリ行列$U$を効率的に計算可能であり、有限周波数ケースにおける最適入力信号の再構成を可能にする。