[論文レビュー] Hölder continuity in the Hurst parameter of functionals of Stochastic Differential Equations driven by fractional Brownian motion

Alexandre Richard, Denis Talay|arXiv (Cornell University)|May 30, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、分数 Browm運動で駆動される確率微分方程式（SDE）の解の汎関数について、Hölder連続性がHurstパラメータ$H$において確立される。$X^H_t$の密度関数に対する精密なガウス型推定を導出し、$H = \frac{1}{2}$の近傍における時間周辺分布および先期時間のラプラス変換の感度を分析することで、ブラウン運動の状態に近づくに従い、これらの分布がどのように変化するかを定量的に評価する。

ABSTRACT

In this paper we develop sensitivity analyses w.r.t. the long-range/memory noise parameter for solutions to stochastic differential equations and the probability distributions of their first passage times at given thresholds. Here we consider the case of stochastic differential equations driven by fractional Brownian motions and the sensitivity , when the Hurst parameter $H$ of the noise tends to the pure Brownian value, of probability distributions of certain functionals of the trajectories of the solutions $\{X^H_t\}_{t\in \mathbb{R}_+}$. We first get accurate sensitivity estimates w.r.t. $H$ around the critical Brownian parameter $H = frac{1}{2}$ of time marginal probability distributions of $X^H$. We second develop a sensitivity analysis for the Laplace transform of first passage time of $X^H$ at a given threshold. Our technique requires accurate Gaussian estimates on the density of $X^H_t$. The Gaussian estimate we obtain in Section 5 may be of interest by itself.

研究の動機と目的

• 分数 Browm運動のHurstパラメータ$H$の変化に対するSDE解の汎関数の確率分布の感度を研究すること。
• 標準ブラウン運動に対応する臨界値$H = \frac{1}{2}$に近づく際の先期時間分布の挙動を分析すること。
• $X^H_t$の密度関数に対する厳密な推定を確立し、$H = \frac{1}{2}$の近傍における精密な感度分析を可能にすること。
• 時間周辺分布および先期時間のラプラス変換が$H$に関してHölder連続であることを確立すること。

提案手法

• 分数 Browm運動で駆動されるSDEの解$X^H_t$の密度関数に対する正確なガウス型推定を導出すること。
• これらの密度推定を用いて、$H$が$\frac{1}{2}$の近傍で摂動を受ける際の$X^H_t$の時間周辺分布の感度を定量化すること。
• Malliavin微積分法の技術を用いて、所定のしきい値における先期時間のラプラス変換を分析すること。
• 制御された密度推定を介して、先期時間のラプラス変換の$H$に関するHölder連続性の境界を確立すること。
• 密度関数の正則性を活用し、分布関数の$H$に関する微分の均一な境界を導出すること。
• ガウス尾部推定とパスワイズ解析を組み合わせることで、$H \in (0,1)$の範囲で関数汎関数の感度を制御すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hurstパラメータ$H$が$\frac{1}{2}$に近づくに従い、解$X^H_t$の時間周辺分布はどのように変化するか？
• RQ2 先期時間のラプラス変換が$H$に関して$H = \frac{1}{2}$の近傍でどの程度変化するかの変化率は何か？
• RQ3 $X^H_t$の密度関数を十分な精度で推定できるか？
• RQ4 関数汎関数の分布は$H = \frac{1}{2}$の周辺でHölder連続か？
• RQ5 先期時間分布の感度に対する$H$の変化に関する定量的境界は何か？

主な発見

• 本稿では、$H = \frac{1}{2}$の近傍で$X^H_t$の時間周辺分布が$H$に関してHölder連続であることが確立され、連続性のモジュラスの明示的境界が得られた。
• $X^H_t$の密度関数に対する正確なガウス型推定が得られ、$H$に対する感度制御に不可欠な役割を果たした。
• 先期時間のラプラス変換が、計算可能な指数を有する$H$に関してHölder連続であることが示された。
• 先期時間分布の$H$に対する感度は、$H$に関するラプラス変換の微分の境界を用いて定量的に評価された。
• 得られた密度推定は、$H = \frac{1}{2}$の近傍における$H$のさまざまな値の範囲で感度分析を支えるのに十分な頑健性を有していた。
• 結果として、分数 Browm運動から標準ブラウン運動への遷移（$H \to \frac{1}{2}$）が分布的観点から滑らかに制御されることを示した。