[論文レビュー] Hölder continuity of Lyapunov exponent for quasi-periodic Jacobi operators

Kai Tao|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、周波数に強いディオファントス条件が成り立つ場合、準周期的ジャコビ作用素のリャプノフ指数のホルダー連続性を確立する。ブルーゲンとジトミルスカヤが適応した、ゴールドスタイン＝シュラー法の洗練版を用いて、あるエネルギー $E_0$ でリャプノフ指数が正であれば、その指数は $\beta = \beta(a,b,\omega)$ に依存する局所的ホルダー連続性を示す。ここで $\beta$ は $E_0$ とは無関係に、ポテンシャルと周波数にのみ依存する。この結果は、指数が正のまま保たれるコンパクトな区間において一様に成り立つ。

ABSTRACT

We consider the quasi-periodic Jacobi operator $H_{x,ω}$ in $l^2(\mathbb{Z})$ $(H_{x,ω}ϕ)(n) = -b(x+(n+1)ω)ϕ(n+1) - b(x+nω)ϕ(n-1) + a(x+nω)ϕ(n) = Eϕ(n),\ n\in\mathbb{Z},$ where $a(x),\ b(x)$ are analytic function on $\mathbb{T}$, $b$ is not identically zero, and $ω$ obeys some strong Diophantine condition. We consider the corresponding unimodular cocycle. We prove that if the Lyapunov exponent $L(E)$ of the cocycle is positive for some $E=E_0$, then there exists $ρ_0=ρ_0(a,b,ω,E_0)$, $β=β(a,b,ω)$ such that $|L(E)-L(E')|0$ for all $E$ in some compact interval $I$ then $L(E)$ is Hölder continuous on $I$ with a Hölder exponent $β=β(a,b,ω,I)$. In our derivation we follow the refined version of the Goldstein-Schlag method \cite{GS} developed by Bourgain and Jitomirskaya \cite{BJ}.

研究の動機と目的

• あるエネルギーでリャプノフ指数が正であるとき、準周期的ジャコビ作用素のリャプノフ指数の局所的ホルダー連続性を確立すること。
• 解析的準周期的ジャコビ行列に付随するユニモジュラーコサイクルのリャプノフ指数の正則性理論を拡張すること。
• リャプノフ指数のホルダー指数 $\beta$ を、解析的データ $a(x), b(x)$ およびディオファントス周波数 $\omega$ の観点から、エネルギー $E_0$ とは独立に定量化すること。
• リャプノフ指数が一様に正である任意のコンパクト区間において、そのホルダー連続性が保たれることを証明すること。

提案手法

• ジャコビ作用素の伝搬行列から導かれるユニモジュラーコサイクル表現 $\tilde{M}_N(x,E,\omega)$ を用いて、成長を制御し、行列式を正規化する。
• ブルーゲン＝ジトミルスカヤによる手法を用いて、コサイクルのノルムに対する大偏差推定を確立する洗練されたゴールドスタイン＝シュラー法を適用する。
• 近接するエネルギー $E, E'$ の間で $L(E)$ と $L(E')$ を比較するための摂動論的議論を実施し、伝搬行列の対数ノルムの差を評価する。
• 部分加法的エルゴード定理を用いて、リャプノフ指数 $L(E,\omega)$ を平均化された対数ノルムの極限として定義する。
• 周波数 $\omega$ に対して $\|n\omega\| \geq C_\omega / (n(\log n)^\alpha)$ の形のディオファントス条件を用いることで、十分なディオファントス近似性質を保証する。
• 平均からのノルムの逸脱確率が指数的に減少することを示し、これにより $|L(E) - L(E')|$ の差が制御可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準周期的ジャコビ作用素のリャプノフ指数がエネルギーに関してホルダー連続となる条件は何か？
• RQ2 ホルダー指数 $\beta$ は、エネルギー $E_0$ とは無関係に、解析的データ $a(x), b(x)$ および周波数 $\omega$ の関数として一様に評価可能か？
• RQ3 リャプノフ指数が点 $E_0$ で正であるとき、最適なホルダー指数 $\beta$ は何か？
• RQ4 リャプノフ指数の正則性は、その指数が全区間で正であるコンパクト区間へと拡張可能か？

主な発見

• あるエネルギー $E_0$ でリャプノフ指数 $L(E_0) > 0$ であれば、$L(E)$ は近傍 $ (E_0 - \rho_0, E_0 + \rho_0) $ において指数 $\beta = \beta(a,b,\omega)$ の局所的ホルダー連続性を示す。
• ホルダー指数 $\beta$ は、解析的関数 $a(x), b(x)$ およびディオファントス周波数 $\omega$ のみに依存し、$E_0$ とは無関係である。
• 任意のコンパクト区間 $I$ に対して、すべての $E \in I$ で $L(E) > 0$ であれば、リャプノフ指数は $I$ 上で指数 $\beta = \beta(a,b,\omega,I)$ のホルダー連続性を示す。
• 近傍におけるすべての $E, E'$ に対して、差 $|L(E) - L(E')|$ は $|E - E'|^\beta$ で抑えられ、ここで $\beta = \frac{c_7}{12 + 2c_7}$ であり、$c_7 = c_7(a,b,\omega)$ である。
• 証明は大偏差推定と例外集合の測度の減少に依存しており、これにより対数ノルムの差が $|E - E'|$ で制御可能になる。
• 強力なディオファントス条件 $\|n\omega\| \geq C_\omega / (n(\log n)^\alpha)$（$\alpha > 1$）の下で、この結果は成り立つ。この条件はほとんどすべての $\omega$ に対して満たされる。