[論文レビュー] Hölder continuity of normal cycles and of support measures of convex bodies

Daniel Hug, Rolf Schneider|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2013

Point processes and geometric inequalities参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ユークリッド空間内の凸体の法線サイクルおよび補助測度のホルダー連続性推定を確立する。双対フラット半ノルムおよび有界リプシッツ距離を用いて、ホルデルト距離において法線サイクルが指数 $1/(2n+1)$ でホルダー連続に変化することを証明する。一方、補助測度は指数 $1/2$ でホルダー連続に変化し、両者とも定数が体の幾何的境界に依存する。

ABSTRACT

We provide an estimate of the distance (in the dual flat seminorm) of the normal cycles of convex bodies with given Hausdorff distance. We also give an estimate (in the bounded Lipschitz metric) of the support measures of convex bodies.

研究の動機と目的

• ホルデルト収束における凸体の法線サイクルの既知の連続性を定量的に精緻化すること。
• 有界リプシッツ距離に関して補助測度の局所的ホルダー連続性を確立すること。
• 曲率および面積測度の既存の安定性結果を、明示的なホルダー型推定を提供することによって改善すること。
• チャザルらの手法を凸体に拡張し、以前に得られていたものより強い推定を得ることを可能にすること。
• 法線サイクルおよび補助測度の正則性を、内接球半径、外接球半径、および平行体といった幾何的不変量と結びつけること。

提案手法

• 滑らかさと共通集合 $M$ 上での compact 支持を活用し、$\mathbb{R}^{2n}$ 上の微分形式を用いて法線サイクルの差の双対フラット半ノルムを推定する。
• 変換公式および距離関数と法線ベクトル場の性質を用いて、補助測度 $\Lambda_i(K,\cdot)$ と $\Lambda_i(L,\cdot)$ を比較する修正版の有界リプシッツ距離を適用する。
• 投影および法線写像を用いて定義される補助測度 $\mu_{K,\rho}$ を用い、これらが有界リプシッツ距離においてリプシッツ連続であることを示す。
• 測度の差を三つの部分に分解する：重なり領域における $|p_K - p_L|$、$|u_K - u_L|$、および対称差 $K^\rho \triangle L^\rho$。各部分は幾何的境界を用いて推定する。
• 距離関数の勾配 ($\nabla d_K = u_K$) に関する既知の結果を適用し、法線ベクトルの差の $L^1$ ノルムを有界化する。
• バーデモンデ行列構造を持つ線形方程式系を解き、補助測度 $\Lambda_i$ を $\rho_j = j/n$ に対する $\mu_{K,\rho_j}$ の線形結合として表現することで、推定の移行を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホルデルト収束における法線サイクルの弱連続性は、定量的ホルダー推定に強化可能か？
• RQ2 ホルデルト距離に関して双対フラット半ノルムにおける法線サイクルの最適ホルダー指数は何か？
• RQ3 凸体の補助測度間の有界リプシッツ距離は、それらのホルデルト距離とどのようにスケーリングされるか？
• RQ4 補助測度のホルダー連続性によって、面積測度に関するミンコフスキーの存在および一意性定理の安定性は向上可能か？
• RQ5 チャザルらの手法は、より強い正則性推定を得るために、凸体にどの程度まで適応可能か？

主な発見

• 法線サイクル $T_K$ は、$K_1 \times \mathbb{S}^{n-1}$ および $L_1 \times \mathbb{S}^{n-1}$ を含むコンパクト集合 $M$ 上のすべての滑らかな $(n-1)$-形式 $\varphi$ に対して、ホルダー推定 $|T_K(\varphi) - T_L(\varphi)| \leq C(M,\varphi) \, d_H(K,L)^{1/(2n+1)}$ を満たす。
• 補助測度 $\Lambda_i(K,\cdot)$ は、$d_{bL}(\Lambda_i(K,\cdot), \Lambda_i(L,\cdot)) \leq C(R) \, d_H(K,L)^{1/2}$ を満たす。ここで $R$ は平行体 $K_2$ および $L_2$ を含む球の半径を表す。
• 面積測度 $S_{n-1}(K,\cdot)$ は同じホルダー推定を継承する：$d_{bL}(S_{n-1}(K,\cdot), S_{n-1}(L,\cdot)) \leq C'(R) \, d_H(K,L)^{1/2}$。
• 補助測度推定における定数 $C(R)$ は、次元および $K_2$ と $L_2$ を含む球の半径 $R$ のみに依存し、$K$ と $L$ の具体的な形状には依存しない。
• 証明は、有界リプシッツ距離を三つの成分に分解することに依存する：共通領域における位置および法線ベクトル場の差、および平行体の対称差。各成分は $O(\sqrt{\delta})$ で有界である。
• バーデモンデ行列による $\Lambda_i$ の $\mu_{K,\rho_j}$ からの線形再構成により、ホルダー指数 $1/2$ が線形結合のもとでも保存される。