[論文レビュー] H{ö}lder continuity of random processes

Witold Bednorz|ArXiv.org|Mar 19, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、主要測度論におけるYoung関数 $\varphi$ に用いられる条件を緩和することで、確率過程のホルダー連続性に関する結果を拡張する。新しい最小化距離 $\tau_{m,\varphi}$ を導入し、$\varphi$ の成長条件を弱めた条件下でも、可分過程の正規化された増分の上限が期待値で有界であることを証明する。これにより、標本路の正則性が保証される。主な貢献は、クワピエンとロジンスキーの結果を指数型 $\varphi$ 関数を超えて一般化したことである。

ABSTRACT

The paper will be published in JOTP. In the paper we prove Holder Continuity for ceratian classes of processes with bounded increments. The paper generalizes results obtained by Kwapien and Rosinski in Sample H{ö}lder continuity of stochastic processes and majorizing measures. extit{Seminar on Stochastic Analysis, Random Fields and Applications IV, Progr. in Probab.} {\bf 58}, 155--163. Birkh{ä}user, Basel.

研究の動機と目的

• Young関数に課される $\triangle^2$ 条件の制限を超えて、ホルダー連続性を示す主要測度法を一般化すること。
• 可分過程の $\varphi$-有界増分をもつ場合に、最小化距離 $\tau_{m,\varphi}$ がその増分を制御するための $\varphi$ の十分条件を確立すること。
• $\varphi$ が指数関数的に成長する必要がある（すなわち $\triangle^2$ を満たす）という要件を緩和し、多項式型 $\varphi_p(x) = x^p$ を含むより広い関数族への適用を可能にすること。
• $T \times T$ 上に確率測度 $\nu$ を構成し、増分過程のオーリツュノルムが $\tau_{m,\varphi}$ を通じて連続性のモジュラスを制御することを示すこと。
• Young関数 $\varphi$ にやや弱い成長条件を課した場合でも、正規化された増分の期待値上限が普遍定数で有界であることを証明し、標本路のほとんど確実な連続性を保証すること。

提案手法

• コンパクトな距離空間 $(T,d)$ 上のボレル確率測度 $m$ を用いて、$\tau_{m,\varphi}(s,t) = \max\left\{ \int_0^{d(s,t)} \varphi^{-1}\left(\frac{1}{m(B(s,\varepsilon))}\right) d\varepsilon, \int_0^{d(s,t)} \varphi^{-1}\left(\frac{1}{m(B(t,\varepsilon))}\right) d\varepsilon \right\}$ として最小化距離 $\tau_{m,\varphi}$ を定義する。
• 減少比条件 $\frac{\varphi(R^k)}{\varphi(R^{k+1})} \leq \frac{\varphi(R^{k-1})}{\varphi(R^k)}$（$k \geq 1$）を満たすYoung関数の新クラスを導入し、$\triangle^2$ 条件を緩和する。
• dyadicアニュラス上の測度の重み付き和を用いて、$r_k(u)$ を用いて増分を局所化する方法により、$T \times T$ 上に確率測度 $\nu$ を構成する。
• Fubiniの定理とオーリツュノルムの推定を用いて、差 $|f(s) - f(t)|$ を $\tau_{m,\varphi}(s,t)$ と増分関数 $f^d(u,v) = |f(u) - f(v)| / d(u,v)$ の $\psi_+$-オーリツュノルムの項で上から抑える。
• $\varphi_+$ の成長を制御するため $\nabla'$ 条件を適用し、部分加法性と斉次性を用いて正規化された増分の一様な上界を導出する。
• 新しい $\varphi$ の条件下で、普遍定数 $K$ を用いて $\mathbf{E} \sup_{s,t} \varphi\left( \frac{|X(s)-X(t)|}{K \tau_{m,\varphi}(s,t)} \right) \leq 1$ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホルダー連続性を示す主要測度法を、$\triangle^2$ 条件を満たさないYoung関数へ拡張することは可能か？
• RQ2 どの程度緩い $\varphi$ の条件でも、可分過程の $\varphi$-有界増分に対して、最小化距離 $\tau_{m,\varphi}$ が増分を制御できるか？
• RQ3 $T \times T$ 上に確率測度 $\nu$ を構成し、増分関数のオーリツュノルムが $\tau_{m,\varphi}$ を通じて連続性のモジュラスを制御できるか？
• RQ4 多項式型関数 $\varphi_p(x) = x^p$（$p < \infty$）に対して、新しい枠組みはどのように動作するか？（これらは $\triangle^2$ 条件を満たさない。）
• RQ5 Young関数 $\varphi$ の成長仮定を緩和した場合でも、正規化された増分の上限の期待値が一様に有界であるか？

主な発見

• Young関数 $\varphi$ が減少比条件 (1) と可 summability 条件 (2) を満たす場合、任意の可分過程 $X$ に対して、$\mathbf{E} \sup_{s,t} \frac{|X(s)-X(t)|}{2K \tau_{m,\varphi}(s,t)} \leq 1$ を満たす有限定数 $K < \infty$ が存在することを確立した。
• $\psi \in \nabla'$ ならば、$\mathbf{E} \sup_{s,t} \psi\left( \frac{|X(s)-X(t)|}{2K \tau_{m,\varphi}(s,t)} \right) \leq 1$ が成り立ち、より強い尾のバウンドが得られる。
• やや弱い条件下で、最小化距離 $\tau_{m,\varphi}$ が特定の距離 $\rho$ と同値であることが示され、$\tau_{m,\varphi}(s,t) \leq K \rho(s,t)$（$K > 0$）が成り立つ。これにより正則性が保証される。
• 多項式関数 $\varphi_p(x) = x^p$（$p \geq 1$）に対しては、弱いが依然として有効な結果が得られ、指数型関数を超える適用範囲が拡張された。
• $T \times T$ 上の測度 $\nu$ の構成により、オーリツュノルム $|f^d|^{\nu}_{\psi_+}$ が $|f(s)-f(t)|$ を $K \tau_{m,\varphi}(s,t)$ の定数倍まで支配することが保証された。
• 定数 $K$ は $\varphi$、$\psi$、およびパラメータ $R > 1$ のみに依存し、$K = (1+2D)R^{n_0+1}K_0$（$K_0$ は測度 $m$ と $\varphi$ に依存）として明示的に有界である。