[論文レビュー] Hölder continuity of solutions to the complex Monge-Ampère equation with the right hand side in L^p. The case of compact Kähler manifolds

Sławomir Kołodziej|ArXiv.org|Nov 2, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンpact Kähler多様体上で、右辺 $f$ が $L^p(M)$ に属する $p > 1$ の場合に、複素 Monge-Ampère 方程式 $(\omega + dd^c u)^n = f\omega^n$ の解の Hölder 連続性を確立する。正則化技術、安定性評価、および三重円型不等式を用いて、解 $u$ が $p$、多様体 $M$、および $\|f\|_p$ に依存する指数を持つ Hölder 連続性を示し、従来の連続性結果をより高い正則性へと拡張する。

ABSTRACT

We prove that on compact Kähler manifolds solutions to the complex Monge-Ampère equation, with the the right hand side in $L^p, p>1,$ are Hölder continuous.

研究の動機と目的

• コンpact Kähler多様体上で、右辺 $f$ が $L^p(M)$ に属する $p > 1$ の場合に、$\omega$-擬上膜関数解の Hölder 連続性を確立すること。
• 既知の $f \in L^p$（$p > 1$）に対する連続性結果を、定量的な連続性モジュラスを伴う Hölder 連続性へと拡張すること。
• 特に [GKZ] の正則化と安定性のアプローチを、厳密に擬凸領域で用いられた技術を、コンpact Kähler設定へと適応すること。
• 特異的集合上に沿って発散するが、$p > 1$ に対して $L^p$ に属する可能性がある $f$ を伴う Kähler-Ricci 流におけるポテンシャルの正則性を扱うこと。

提案手法

• 局所平均化による解 $u$ の正則化：座標近傍で $u_{j,\delta}(z) = \max_{|w|<\delta} u(z+w)$ を定義する。
• 振動の減衰を追跡するための補助関数 $\chi(\delta) = \delta^{-\alpha} \max_j \max_z (u_{j,\delta} - u)(z)$ と $\eta(\delta) = \max_j \max_z (u_{j,C\delta} - u_{j,\delta})(z)$ を定義する。
• 比較原理と [K2] の安定性評価を用いて、正規化された解に対して $\|u - v\|_\infty$ を $\|f - g\|_1^{1/(n+3+\epsilon)}$ で評価する。
• 三重円定理の形 $u_{j,N\delta} - u_{j,\delta} \geq \frac{\log N}{\log C}(u_{j,C\delta} - u_{j,\delta})$ を用いて、異なるスケールにおける振動を関連付ける。
• 正則化された $u_{j,\delta}$ と切断関数 $\rho_j$ を組み合わせて、$dd^c u_\delta + \omega > 0$ を満たす subsolution $u_\delta$ を構成する。
• 仮定 $\chi(\delta) > \max(9, \chi(N\delta))$ から矛盾を導出し、$f$ が実質的にゼロとなる小測度の集合 $E$ を得る。比較原理を用いて、Monge-Ampère 測度の正定性を破る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンpact Kähler多様体上で、複素 Monge-Ampère 方程式 $(\omega + dd^c u)^n = f\omega^n$ の解 $u$ は、$f \in L^p(M)$ かつ $p > 1$ の場合に Hölder 連続となるか？
• RQ2 安定性評価 $\|u - v\|_\infty$ を $\|f - g\|_1^{1/(n+3+\epsilon)}$ で制御する [K2] の結果を、連続性から Hölder 連続性への向上に用いることができるか？
• RQ3 Hölder 指数 $\alpha$ は、$f$ の $L^p$ ノルム、多様体 $M$、次元 $n$ にどのように依存するか？
• RQ4 厳密に擬凸領域で用いられた正則化と振動減衰技術が、コンpact Kähler 設定へと適応可能か？
• RQ5 特異的集合上に沿って特異的となるが、$f$ が $L^p$ に属する場合の Kähler-Ricci 流におけるポテンシャルの正則性はいかなるものか？

主な発見

• 右辺 $f \in L^p(M)$（$p > 1$）のとき、複素 Monge-Ampère 方程式の解 $u$ は、$p$、$M$、および $\|f\|_p$ に依存する Hölder 連続性を示す。
• Hölder 指数 $\alpha$ は、$\alpha < \frac{1}{q(n+3+\epsilon)+1}$ を満たす。ここで $q$ は $p$ の Hölder 共役であり、$\epsilon > 0$ は任意である。
• 証明は、$\chi(\delta) > \max(9, \chi(N\delta))$ を仮定する背理法に依拠し、$f$ が実質的にゼロとなる小測度の集合 $E$ を得る。
• 集合 $E$ の測度は $c_4 \delta^{1-\alpha}$ で上から抑えられ、Hölder の不等式より $\int_E f \omega^n \leq c_5 \delta^{(1-\alpha)/q}$ が得られ、安定性評価における $L^1$ 差を制御する。
• 矛盾は比較原理から生じる：$\int_U (dd^c u_\delta + \omega)^n > 0$ であるが、$\int_U (dd^c v + \omega)^n = \int_E g \omega^n = 0$ であるため、Monge-Ampère 測度の正定性に反する。
• 結果はコンpact Kähler 軌道へと拡張可能であり、特異的極限が $L^p$ に属するプロジェクト型多様体上の Kähler-Ricci 流におけるポテンシャルへの応用が可能である。