[論文レビュー] Hölder estimates for viscosity solutions of equations of fractional $p$-Laplace type

Erik Lindgren|arXiv (Cornell University)|May 26, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、非局所的で、可能なかつて退化・特異な方程式の分数 $p$-ラプラシアン型方程式の粘性解に対する最適な Hölder 連続性推定を、Krylov-Safonov 方式を用いて確立する。主な結果は、$p$ や $s$ が $x$ に依存し、正則性がない場合でさえも、有界な粘性解が局所的に Hölder 連続であり、その Hölder 指数が $p$、$s$、およびカーネルの楕円的定数に依存することを示している。

ABSTRACT

We prove Hölder estimates for viscosity solutions of a class of possibly degenerate and singular equations modelled by the fractional $p$-Laplace equation $$ ext{PV} \int_{\mathbb{R}^n}\frac{|u(x)-u(x+y)|^{p-2}(u(x)-u(x+y))}{|y|^{n+sp}}\, dy =0, $$ where $s\in (0,1)$ and $p>2$ or $1/(1-s)

研究の動機と目的

• 非局所的 $p$-ラプラシアン型方程式の有界な粘性解の局所的 Hölder 連続性を確立する。特に、方程式が退化または特異であっても成り立つようにする。
• 従来の弱解に対する Hölder 推定を、非発散型設定における粘性解の枠組みへと拡張する。
• $p$ や $s$ の正則性を要件としない変動指数 $p(x)$ と $s(x)$ を取り扱い、カーネル $K(x,y)$ に対して最小限の構造的仮定を置く。
• 同様に非対称で一般なカーネルを満たす、均一なアプローチを提供し、同型および非同型方程式に適用可能である。
• 発散型と非発散型非局所方程式の間のギャップを埋めるために、Krylov-Safonov 方法を非局所的・非同型設定に適応する。

提案手法

• 変動する $p(x)$ および $s(x)$ を持つ非局所的・非発散型方程式に Krylov-Safonov 方法を適応し、振動の減少に基づくスケーリングと反復の議論を用いる。
• 振動の制御と非局所作用素 $L(u + k\beta)$ の上界・下界の導出のため、$\beta(x) = |x|^\eta$ を用いてバリア関数 $v = u + k\beta$ を定義する。
• 非局所作用素 $Lu = \mathrm{PV}\int |u(x)-u(x+y)|^{p-2}(u(x)-u(x+y))K(x,y)\,dy$ の主値積分表現を用いて、粘性副解を分析する。
• 解が Hölder 条件を満たさないと仮定し、振動の減少による矛盾を導出し、カーネルの有界性を用いて作用素評価における矛盾を導く。
• 解を正規化し、問題を普遍スケールに還元するためのスケーリング技術を適用し、元の解のサイズに依存しない一様推定を得る。
• カーネルの仮定：原点近傍で $\lambda/|y|^{n+sp} \leq K(x,y) \leq \Lambda/|y|^{n+sp}$ であり、無限遠で $K(x,y) \leq M/|y|^{n+\gamma}$（$\gamma > 0$）を満たす。これによりテイル寄与を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p$ や $s$ が $x$ に依存する非局所的 $p$-ラプラシアン型方程式の粘性解に対し、Hölder 連続性を確立できるか？
• RQ2 カーネル $K(x,y)$ にどのような条件を課せば、有界な粘性解が退化または特異な状況下でも局所的に Hölder 連続となるか？
• RQ3 固定されていない $p$ の場合、Hölder 指数は $p$、$s$、楕円的定数 $\lambda$、$\Lambda$ にどのように依存するか？
• RQ4 Krylov-Safonov 方法を、変動指数および滑らかでないカーネルを持つ非局所方程式の非発散型設定に拡張可能か？
• RQ5 非同型の場合に、Hölder 半ノルムは解の $L^\infty$ ノルムおよび右辺 $f$ にどのように依存するか？

主な発見

• 同型分数 $p$-ラプラシアン方程式の有界な粘性解は、$B_1$ 内で局所的に Hölder 連続であり、Hölder 半ノルムは解の $L^\infty$ ノルムによって制御される。
• Hölder 指数 $\alpha$ は $\lambda$、$\Lambda$、$M$、$p$、$s$、$\gamma$ に明示的に依存し、これらのパラメータに依存する正の下界を持つ。
• 変動指数方程式で $p(x) \in (p_0, p_1)$ および $s(x) \in (s_0, s_1)$ の場合、$p(x) < 2$ のとき $p(x)(1-s(x)) - 1 > \tau > 0$ の条件下で Hölder 連続性が成り立つ。
• 非同型の場合、解の Hölder 半ノルムは定数倍の $\|u\|_{L^\infty} + \max(\|f\|_{L^\infty}^{1/(p_0-1)}, \|f\|_{L^\infty}^{1/(p_1-1)})$ で抑えられ、右辺に正しい依存関係が現れる。
• 解が $p$ や $s$ が $x$ の関数として不連続であっても、必要な範囲内に留まる限り、微分可能性や Hölder 連続性の要件なしに本手法は適用可能である。
• カーネル $K(x,y)$ が原点近傍でべき乗型の下界・上界を満たし、無限遠で減衰条件を満たす限り、非対称性や滑らかさの要件なしに本結果は成立する。