[論文レビュー] Hölder regularity of arithmetic Fourier series arising from modular forms

Izabela Petrykiewicz|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、波ウェーブレット解析を用いて、モジュラー形式から導かれる算術的フーリエ級数の無理数点におけるホルダー正則性指数を確立する。正則性は点の連分数性質に正確に依存し、非尖点形式では $ s - k + \frac{k}{\mu(x)} $、尖点形式では $ s - \frac{k}{2} - 1 + \frac{2}{\mu(x)} $ と表される。ここで $ \mu(x) $ は連分数近似の成長率を捉える。

ABSTRACT

Given a modular form which is not a cusp form $M_k(z)=\sum_{n=0}^{\infty}r_ne^{2πinz}$ of weight $k \geq 4$, we define the series $M_{k,s}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{r_n}{n^s}\sin(2πnx),$ which converges for all $x\in\mathbb{R}$ when $s>k$. In this paper, we compute the Hölder regularity exponent of $M_{k,s}$ at irrational points. In our analysis we apply wavelets methods proposed by Jaffard in 1996 in the study of the Riemann series. We find that the Hölder regularity exponent at a point $x$ is related to the fine diophantine properties of $x$, in a very precise way.

研究の動機と目的

• 無理数の実数におけるモジュラー形式から導かれるフーリエ級数の点별ホルダー正則性指数を特定すること。
• リアマン型級数に用いられたジャファールの波ウェーブレットに基づく手法を、特に非尖点形式および尖点形式のモジュラー形式へ拡張すること。
• 正則性指数と無理数のディオファントス的性質との明確な関係を確立すること。特に、連分数の部分商によって符号化される。
• アイゼンスタイン級数やモジュラー判別式 $\Delta$ からの特定の級数の正則性を分析すること。
• 正則性指数が最適値に達するための条件を、近似指数 $\kappa_n$ の上極限に基づいて提示すること。

提案手法

• ジャファールがリアマン級数のために開発した波ウェーブレット解析の枠組みを、モジュラー形式のフーリエ級数に適応する。
• 級数 $ M_{k,s}(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{r_n}{n^s} \sin(2\pi n x) $ を定義する。ここで $ r_n $ は重さ $ k \geq 4 $ のモジュラー形式のフーリエ係数である。
• 連分数収束近似 $ \frac{p_n}{q_n} $ の成長率を用いて $ \kappa_n $ を定義し、その後 $ \mu(x) = \limsup_{n \to \infty} \kappa_n $ を定める。これにより、$ x $ のディオファントス近似の質が定量化される。
• 波ウェーブレット分解を用いて局所的ホルダー正則性を分析し、正則性指数とウェーブレット係数の減衰の関係を関連付ける。
• 尖点形式と非尖点形式を区別する。モジュラー形式の無限遠点における挙動が係数の下界に影響を及ぼすためである。
• 非尖点形式は無限遠点で下から有界であるため、尖点形式よりも強い正則性推定が可能であることを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無理数 $ x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} $ における級数 $ M_{k,s}(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{r_n}{n^s} \sin(2\pi n x) $ のホルダー正則性指数は何か？
• RQ2 正則性指数は $ x $ の連分数展開にどのように依存するか？
• RQ3 リアマン級数に用いられた波ウェーブレット手法を、モジュラー形式関連のフーリエ級数へ一般化できるか？
• RQ4 尖点形式の最適正則性指数は何か？非尖点形式とはどのように異なるか？
• RQ5 $ s $ と $ x $ のディオファントス型にどのような条件下で正則性指数が鋭い値をとるか？

主な発見

• 重さ $ k \geq 4 $ の非尖点モジュラー形式に対して、無理数 $ x $ におけるホルダー正則性指数は $ \alpha_{k,s}(x) = s - k + \frac{k}{\mu(x)} $ であり、$ s > k + \frac{k}{\nu(x)} - \frac{k}{\mu(x)} $ の条件下で成り立つ。
• 尖点形式に対しては、正則性指数が $ \beta_{k,s}(x) \geq s - \frac{k}{2} - 1 + \frac{2}{\mu(x)} $ を満たし、$ \mu(x) = 2 $ かつ無限に多くの部分商 $ a_n(x) $ が有界である場合に等号が成り立つ。
• $ s > \frac{3k}{2} $ であれば、すべての無理数 $ x $ に対して正則性指数の公式が成り立ち、この条件は $ s > k $ のときほとんどすべての $ x $ で満たされる。
• アイゼンスタイン級数 $ E_k $ に対しては、関係 $ E_{k,s} \propto M_{k,s} $ のため、$ E_{k,s}(x) $ の正則性指数は同じ条件下で $ s - k + \frac{k}{\mu(x)} $ となる。
• 重さ2の準モジュラー形式であるアイゼンスタイン級数 $ E_2 $ に対しては、正則性指数が $ \gamma_{2,s}(x) \geq s - 2 + \frac{2}{\mu(x)} $ を満たし、無限に多くの $ n $ に対して $ a_n(x) \geq 7 $ であれば等号が成り立つ。
• モジュラー判別式 $ \Delta $ に対しては、級数 $ \Delta_s(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\tau(n)}{n^s} \cos(2\pi n x) $ が $ s > 7 $ のときほとんどすべての $ x $ に対して $ \delta_s(x) = s - 6 $ を満たす。これは、ザギエの $ \Delta_{11} $ に関する観察を確認する。