[論文レビュー] H\\"older Stable Recovery of Time-Dependent Electromagnetic Potentials Appearing in a Dynamical Anisotropic Schr\\"odinger Equation

Yavar Kian, Alexander Tetlow|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2019

Numerical methods in inverse problems参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、単純なリーマン多様体上の力学的異方的シュレーディンガー方程式において、境界からのディリクレ・トゥ・ノイマン写像から時間的・空間的依存の電磁ポテンシャルのホルダー安定回復を確立する。磁気ポテンシャルのソリノイダル部に対する小さいと仮定する必要を排除し、カルレマン推定式と微局所解析を活用することで、最小限の正則性仮定のもとで逆問題に対して一意性とホルダー安定性を証明する。

ABSTRACT

We consider the inverse problem of H\\"oldder-stably determining the time- and space-dependent coefficients of the Schr\\"odinger equation on a simple Riemannian manifold with boundary of dimension $n\\geq2$ from knowledge of the Dirichlet-to-Neumann map. Assuming the divergence of the magnetic potential is known, we show that the electric and magnetic potentials can be H\\"older-stably recovered from these data. Here we also remove the smallness assumption for the solenoidal part of the magnetic potential present in previous results.

研究の動機と目的

• リーマン多様体上での力学的シュレーディンガー方程式において、境界測定値から時間的・空間的依存の電磁ポテンシャルを安定に回復する逆問題に取り組む。
• 最小限の正則性仮定のもとで、電気的および磁気的ポテンシャルの回復に関して一意性とホルダー安定性を確立する。
• 先行研究に見られる磁気ポテンシャルのソリノイダル部に対する小さいと仮定する条件を排除する。
• ユークリッド領域からの安定性結果を、境界を持つ一般の単純リーマン多様体へと拡張する。
• 量子力学的および波動伝播モデルに関連する幾何的設定における安定な逆回復のフレームワークを提供する。

提案手法

• 測地的距離に依存する重み関数を有するカルレマン推定式を用い、解を境界付近に局在化する。
• 微局所解析およびフーリエ積分作用素の理論を適用し、電磁ポテンシャルの存在下での解の挙動を分析する。
• 観測データとしてディリクレ・トゥ・ノイマン写像を用い、解の境界上での測定値および法線微分を符号化する。
• 位相変換におけるポテンシャルの本質的不定性を扱うためにゲージ不変形式を採用する。
• 振動する解を有する複素幾何的オプティクスのアンザッツを用い、ポテンシャルの内部構造を調べる。
• X線変換およびその随伴作用素の推定式を組み合わせ、異方的設定におけるX線変換の安定性を活用し、境界データから電気的ポテンシャルを回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 力学的シュレーディンガー方程式における時間的・空間的依存電磁ポテンシャルは、リーマン多様体上でのディリクレ・トゥ・ノイマン写像から一意に回復可能か？
• RQ2 磁気ポテンシャルのソリノイダル部に対する小さいと仮定する条件なしに、電気的および磁気的ポテンシャルのホルダー安定回復が可能か？
• RQ3 逆問題の安定性は、ポテンシャルの正則性および基盤となる多様体の幾何構造にどのように依存するか？
• RQ4 安定性推定式は、非ユークリッド的・異方的リーマン多様体へどの程度まで拡張可能か？
• RQ5 磁気ポテンシャルの発散が、回復プロセスの安定性および一意性に果たす役割は何か？

主な発見

• 著者らは、次元 $ n \geq 2 $ の単純リーマン多様体上において、最小限の正則性仮定のもとで、電気的および磁気的ポテンシャルがディリクレ・トゥ・ノイマン写像からホルダー安定に回復可能であることを証明する。
• ソリノイダル部に対する小さいと仮定する条件を必要とせず、これにより先行研究を改善する。
• 境界上でのポテンシャルおよびその5階までの法線微分が一致するという条件下で、回復の一意性が確立される。
• ホルダー安定性推定式は、カルレマン推定式、微局所解析、X線変換技術の組み合わせにより導出される。
• 安定性定数は多様体の幾何構造、時間区間 $ T $、および電気的ポテンシャルの $ W^{4,\infty} $-ノルムにのみ依存する。
• 次の形の定量的安定性推定式が得られる：$ \|q\|_{L^2} \leq C \left( \gamma^{s_1/p} \lambda \tau^{-6} + \gamma \tau^{-8} \lambda^6 + \tau^{-4} \lambda^{-1} + \tau \right) $、これはパラメータの最適化によりホルダー安定性を示す。