[論文レビュー] H\"ormander's theorem for rough differential equations on manifolds

Thomas Cass, Martin P. Weidner|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2016

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ひとこと要約

本稿は、ラベル付き根付き木上のグロスマン＝ラーソンホップ代数を用いて、滑らかな多様体上の rough 微分方程式（RDE）の解を、座標に依存しない内在的な定義で導入する。これはベクトル空間上では古典的なデイヴ解と同等であり、ホルマントの条件を満たす非退化なガウス型 rough path によって駆動される多様体値 RDE に対して、滑らかな密度正則性を証明する。これは、多様体へのマリャヴィン計算の一般化である。

ABSTRACT

We introduce a new definition for solutions $Y$ to rough differential equations (RDEs) of the form $\mathrm d Y_{t} =V\left (Y_{t} ight )\mathrm d\mathbf X_{t} ,Y_{0} =y_{0} ext{}$. By using the Grossman-Larson Hopf algebra on labelled rooted trees, we prove equivalence with the classical definition of a solution advanced by Davie when the state space $E$ for $Y$ is a finite-dimensional vector space. The notion of solution we propose, however, works when $E$ is any smooth manifold $\mathcal{M}$ and is therefore equally well-suited for use as an intrinsic defintion of an $\mathcal{M}$-valued RDE solution. This enables us to prove existence, uniqueness and coordinate-invariant theorems for RDEs on $\mathcal{M}$ bypassing the need to define a rough path on $\mathcal{M}$. Using this framework, we generalise result of Cass, Hairer, Litter and Tindel proving the smoothness of the density of $\mathcal{M}$-valued RDEs driven by non-degenerate Gaussian rough paths under H\ormander's bracket condition. In doing so, we reinterpret some of the foundational results of the Malliavin calculus to make them appropriate to the study $\mathcal{M}$-valued Wiener functionals.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体上での rough 微分方程式（RDE）の解について、座標に依存しない、内在的な定義を構築すること。
• 有限次元ベクトル空間で有効な古典的デイヴ型解を、多様体上への一般化し、多様体上での rough path の持ち上げを必要としない形で定式化すること。
• 非退化なガウス型 rough path によって駆動される多様体値 RDE の解について、その密度の存在、一意性、滑らかさを確立すること。
• ウィーナー関数へのマリャヴィン計算の基礎的結果を、多様体値過程の文脈に再解釈すること。

提案手法

• ラベル付き根付き木上のグロスマン＝ラーソンホップ代数を用いて、多様体上での RDE の新たな解概念を導入する。
• 状態空間が有限次元ベクトル空間である場合、新規の解定義とデイヴの解との同値性を確立する。
• ラベル付き根付き木の代数的構造を用いて、座標に依存しない形で反復積分および解の展開を符号化する。
• この枠組みを用いて、多様体上での RDE の解の存在および一意性を、多様体上での rough path の構築を必要とせずに証明する。
• ホルマントの括弧条件を多様体の文脈に適応し、解の枠組みを用いて、解の法則の滑らかさを証明する。
• マリャヴィン計算の道具を再解釈し、多様体値ウィーナー関数への適用を可能にし、法則の正則性の研究を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的構造を用いて、滑らかな多様体上での RDE の解について、座標に依存しない、内在的な定義を構築できるか？
• RQ2 提案された解概念は、ベクトル空間上での古典的デイヴ解を一般化するが、多様体上でも有効に機能するか？
• RQ3 ガウス型 rough path によって駆動される多様体値 RDE の解が、滑らかな密度を持つのはどのような条件下か？
• RQ4 マリャヴィン計算の道具は、多様体値ウィーナー関数の法則の正則性を調べるために、どのように再構成できるか？
• RQ5 ホルマントの条件を用いて、非退化なガウス型 rough path によって駆動される多様体上での RDE の解の密度を滑らかに保証できるか？

主な発見

• 提案された多様体上での RDE 解の概念は、有限次元ベクトル空間上ではデイヴの解と同等であり、その一貫性が裏付けられる。
• 解の枠組みにより、多様体上での RDE の解の存在および一意性が、多様体上での rough path の構築を必要とせずに確立できる。
• 本稿では、非退化なガウス型 rough path によって駆動される滑らかな多様体上での RDE の解の法則が、ホルマントの括弧条件を満たす場合、滑らかな密度を持つことを証明する。
• この枠組みにより、マリャヴィン計算の主要な結果が多様体値ウィーナー関数に適用可能であるように再解釈され、その適用範囲が拡張される。
• ラベル付き根付き木上のグロスマン＝ラーソンホップ代数の使用により、多様体上での解展開における反復積分を体系的かつ内在的に取り扱う方法が提供される。