[論文レビュー] $h-p$ spectral element methods for three dimensional elliptic problems on non-smooth domains using parallel computers

Akhlaq Husain|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2011

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 37被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、滑らかでない領域における3次元楕円境界値問題を指数的精度で解くための非適合h-pスペクトル有限領域法を提案する。特異点の周囲では局所的な球座標および円柱座標を用い、コーナーやエッジに向かって細かく細分される幾何学的メッシュを適用することで、最小二乗コロケーション法をプリコンディショニング共役勾配法（PCGM）を用いて解くことで、明示的な質量行列および剛性行列の構築を回避し、最適収束率を達成する。

ABSTRACT

Elliptic partial differential equations arise in many fields of science and engineering such as steady state distribution of heat, fluid dynamics, structural/mechanical engineering, aerospace engineering and seismology etc. In three dimensions it is well known that the solutions of elliptic boundary value problems have singular behavior near the corners and edges of the domain. The singularities which arise are known as vertex, edge, and vertex-edge singularities. We propose a nonconforming h-p spectral element method to solve three dimensional elliptic boundary value problems on non-smooth domains to exponential accuracy. To overcome the singularities which arise in the neighbourhoods of the vertices, vertex-edges and edges we use local systems of coordinates. These local coordinates are modified versions of spherical and cylindrical coordinate systems in their respective neighbourhoods. Away from these neighbourhoods standard Cartesian coordinates are used. In each of these neighbourhoods we use a geometrical mesh which becomes finer near the corners and edges. We then derive differentiability estimates in these new set of variables and a stability estimate on which our method is based for a non-conforming h-p spectral element method. The Sobolev spaces in vertex-edge and edge neighbourhoods are anisotropic and become singular at the corners and edges. The method is essentially a least-squares collocation} method and a solution can be obtained using Preconditioned Conjugate Gradient Method (PCGM). To solve the minimization problem we need to solve the normal equations for the least-squares problem. The residuals in the normal equations can be obtained without computing and storing mass and stiffness matrices. Computational results for a number of model problems confirm the theoretical estimates obtained for the error and computational complexity.

研究の動機と目的

• 3次元楕円PDEの解がコーナー、エッジ、頂点-エッジ領域で示す特異的挙動に対処すること。
• 解の特異性にもかかわらず指数的収束を達成できる高次元数値法の開発。
• 大規模問題のための効率的並列計算を可能にする非適合スペクトル有限領域法の構築。
• 解のプロセスにおいて質量行列および剛性行列の構築と保存にかかる計算コストを回避すること。
• モデル問題における数値実験を通じて、理論的誤差推定値および計算複雑度の妥当性を検証すること。

提案手法

• 特異領域（頂点、エッジ、頂点-エッジ）の周囲では、修正された球座標および円柱座標という局所座標系を用い、特異性をより正確に捉える。
• これらの局所的領域では幾何学的メッシュを適用し、特異点に向かって細かく細分することで、解の非等方的挙動を捉える。
• 特異点から離れた領域では標準的なデカルト座標を用い、標準的なスペクトル有限領域手順との整合性を保つ。
• 定式化は最小二乗コロケーション法に基づく。これは、明示的な行列構築を伴わず、弱い意味で残差を最小化するものである。
• 特に特異構造を反映する非等方的ソボレフ空間における、安定性および微分可能性の推定値が、新しい座標系で導出される。
• 得られる線形方程式系は、プリコンディショニング共役勾配法（PCGM）を用いて解かれる。残差は、質量行列や剛性行列を保存せずに、正規方程式から直接計算される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 h-pスペクトル有限領域法は、コーナーおよびエッジ特異性を有する非滑らかな領域における3次元楕円問題に対して、指数的収束を達成できるか？
• RQ2 局所座標変換は、3次元領域における特異解の解像度をどのように向上させるか？
• RQ3 特異点の周囲における非等方的メッシュ細分は、収束速度および計算コストにどのような影響を与えるか？
• RQ4 最小二乗コロケーション法は、大規模な質量行列および剛性行列の構築と保存なしに、効率的に実装可能か？
• RQ5 理論的誤差推定値は、実際の大規模計算における数値結果とどのように一致するか？

主な発見

• 本手法は、頂点、エッジ、頂点-エッジ特異性を有する問題について、h-pの観点から指数的収束率を達成しており、理論的予測を確認した。
• 局所的な球座標および円柱座標の使用は、幾何的特異点付近の特異解の解像度を顕著に向上させた。
• 計算結果は、導出された理論的誤差推定値と整合的であり、最適収束挙動を示した。
• 本手法は、質量行列および剛性行列の保存と構築を回避することで、メモリオーバーヘッドを低減し、並列アーキテクチャにおけるスケーラビリティを向上させた。
• プリコンディショニング共役勾配法（PCGM）は、最小二乗定式化から生じる大規模線形方程式系を効果的に解いた。
• モデル問題における数値実験により、理論的誤差境界および計算複雑度推定値の両方が妥当であることが検証され、さまざまな特異構成に対して一貫した性能を示した。