[論文レビュー] Hörmander's theorem for stochastic partial differential equations

Н. В. Крылов|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、時間に依存するホルマンダー条件の下で、係数が時間に関してのみ可測である場合の確率的偏微分方程式（SPDE）の局所超楕円性を確立する。解が空間に関して無限回微分可能であることを証明する。手法は、ワントツェルの確率的座標変換を用いて局所的に確率的項を除去し、確率的係数をもつ決定的放物型方程式に還元する。これにより、古典的正則性理論を適用し、局所的リー代数のランク条件の下で無限回微分可能性を達成する。

ABSTRACT

We prove Hörmander's type hypoellipticity theorem for stochastic partial differential equations when the coefficients are only measurable with respect to the time variable. The need for such kind of results comes from filtering theory of partially observable diffusion processes, when even if the initial system is autonomous, the observation process enters the coefficients of the filtering equation and makes them time-dependent with no good control on the smoothness of the coefficients with respect to the time variable.

研究の動機と目的

• 部分的に観測された拡散過程のフィルタリング理論に自然に現れる、係数が時間に関してのみ可測であるという設定において、SPDEの局所的超楕円性を確立すること。
• 時間に関するホルダー連続性やグローバル条件を必要としていた先行研究の制限を克服し、時間依存性に対する最小限の可測性仮定の下で正則性を証明すること。
• 係数が時間および確率的依存性をもつ非滑らかさを持つ場合でも、SPDEの解が空間に関して無限回微分可能であることを示すこと。
• マルコイニ計算やグローバル仮定に依存しない、強固な手法を提供すること。局所的ワントツェル型変換を用いてSPDEを決定的方程式に還元することを目的とする。

提案手法

• ワントツェルの確率的座標変換を適用し、SPDEの確率的項を除去し、確率的係数をもつ決定的放物型方程式に変換する。
• ベクトル場 $\sigma^{d_1+k}_t$, $k=1,\dots,d_2$ における局所的ホルマンダー条件を用い、球 $B$ 内でリー代数が $\mathbb{R}^d$ を生成することを保証する。
• 古典的放物型方程式の正則性結果を適用できる形にSPDEを還元し、変換された係数が一様に非退化であるという事実を活用する。
• $B_{R_0}$ に台を持つ切断関数 $\zeta$ を構成し、解を局所化することで、変換された方程式が必要な可積分性および滑らかさ条件を満たすようにする。
• 初期データが $H^m_2$-値である熱方程式を用いて、解を終了時刻 $T$ を超えて拡張し、正則性を保ちながら、より大きな時間区間で定理2.3を適用可能にする。
• 解を $u_t = v_t + w_t$ と分解し、$v_t$ が初期データを処理し、$w_t$ が初期条件がゼロの修正されたSPDEを満たすようにすることで、初期データがゼロの状況に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に関してのみ可測な係数をもつSPDEに対して、ホルダー連続性や滑らかさを仮定しないで超楕円性を確立できるか？
• RQ2 ノイズのベクトル場が生成するリー代数における局所的ホルマンダー条件が、係数が確率的かつ時間に依存する非滑らかさを持つ場合でも、解の無限回微分可能性を保証するか？
• RQ3 ワントツェルの確率的座標変換法を、非マルコフ的かつ可測な係数をもつSPDEに適応し、局所的に確率的項を除去できるか？
• RQ4 時間および確率的依存性に対する最小限の仮定の下で、一般化された解（$\mathcal{D}^{-\infty}$ 内）の局所的正則性を達成できるか？

主な発見

• 局所的ホルマンダー条件が成り立ち、強制項 $f_t, g^k_t$ が滑らかであれば、任意のコンパクト集合 $(s_1,s_2) \times B$ 上でSPDEの解は空間に関して無限回微分可能である。
• 任意の $\omega \in \Omega_0$ に対して、解 $u_t$ は $t \in (s_1,s_2)$ の間、$B$ 上で $x$ に関して $C^\infty$ である。これは係数が時間に関して予測可能である場合でも成立する。
• 主な技術的ステップは、局所的ワントツェル変換であり、これにより確率的項が除去され、確率的で一様に非退化な係数をもつ決定的放物型方程式に問題が還元される。
• 本稿では、係数 $\sigma^k_t$ が $t$ に関してのみ可測である場合でも解が滑らかであることを証明しており、これは先行するマルコイニ計算に基づく手法ではカバーされていない設定である。
• 結果は一般化された解 $\mathcal{D}^{-\infty}$ に対しても成り立ち、正則性はグローバルではなく局所的に確立されるため、無限遠点での成長問題を回避する。
• 解を熱方程式を用いて $T$ を超えて拡張し、係数を再定義することで、より大きな時間区間で定理2.3を適用可能にし、$[S,T] \times B_r$ 上で完全な正則性結果を証明する。