[論文レビュー] H-Space structures on spaces of metrics of positive scalar curvature

Georg Frenck|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2020

Advanced Differential Geometry Research参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、自らの接続2型においてノルムコボルディズムであるスピン多様体上の正スカラー曲率計量の空間に幾何学的H空間乗法を構成する。相対Spin×Bπ-コボルディズム類に基づく図式的計算を用いて、この乗法がホモトピー的可換かつホモトピー的結合的であることを確立し、その構造を用いて微分同相写像群の作用に対する剛性基準を証明する。主要結果として、高次元におけるシリンダー空間とディスクの二重化空間の間でH空間同値が成立することを示す。

ABSTRACT

We construct and study an $H$-space multiplication on $\mathcal R^+(M)$ for manifolds $M$ which are nullcobordant in their own tangential $2$-type. This is applied to give a rigidity criterion for the action of the diffeomorphism group on $\mathcal R^+(M)$ via pullback. We also compare this to other known multiplicative structures on $\mathcal R^+(M)$.

研究の動機と目的

• 接続2型においてノルムコボルディズムであるスピン多様体上の正スカラー曲率計量空間に幾何学的H空間乗法を構成すること。
• このH空間構造を用いて、微分同相写像群のR⁺(M)上への作用に対する剛性基準を確立すること。
• 新規に構成されたH空間構造を、既存の正スカラー曲率計量空間上の乗法的構造と比較すること。
• H空間構造がノルムコボルディズムの選び方に依存するかどうかを調査し、計量空間間のホモトピー同値への影響を考察すること。
• 特に球面やディスクの場合に、ノルムコボルディズムの二重化の文脈で安定計量とH空間同値の存在を調査すること。

提案手法

• 相対コボルディズム類Ω^Spin,π_d(M₀ ∐ M₁, M)を用いて、写像S(X_W): R⁺(M) × R⁺(M) → R⁺(M)を定義し、これによりH空間乗法を導く。
• コボルディズム集合における計算を可能にする図式的計算を構築し、ホモトピー的可換性および結合性の明示的検証を可能にする。
• ノルムコボルディズムWに関連する手術写像S(W)を用いてH空間構造を定義し、乗法は2つの反対側のコボルディズムと1つのWを貼り合わせることで与えられる。
• 弱ホモトピー同値性を保証するため、パラメータ付きGromov–Lawson–Schoen–Yauの手術定理に依存する。
• ノルムコボルディズム上に右安定および左安定計量の存在を用いて、シリンダー空間と二重空間の計量空間間のホモトピー同値を構成する。
• 主な技術的道具は、ノルムコボルディズム上に安定計量を貼り合わせて、シリンダー空間から二重空間へのホモトピー同値を生成する写像cl_{G_rst}である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノルムコボルディズムWを用いて構成されたR⁺(M)上のH空間構造は、Wの選び方に依存するか。もし依存するならば、異なる選択肢どうしがどのように関係するか。
• RQ2 H空間構造を用いて、微分同相写像群のR⁺(M)上への作用がホモトピー圏で自明であることを示せるか。
• RQ3 M上のシリンダー計量空間とノルムコボルディズムの二重化の計量空間の間には自然なH空間同値が存在するか。
• RQ4 境界条件を課した計量空間の包含写像が弱ホモトピー同値を誘導する条件は何か。
• RQ5 標準的ディスクによって誘導されるR⁺(S^{d-1})上のH空間構造が、R⁺(S^{d-2}×[0,1])_{g₀,g₀}上のシリンダー空間のH空間構造と同値であることを示せるか。

主な発見

• 次元≥6で、Spin×Bπ₁(M)-ノルムコボルディズムであるスピン多様体M上の正スカラー曲率計量空間R⁺(M)は、ホモトピー的可換かつホモトピー的結合的なH空間構造を有する。
• H空間乗法は、ノルムコボルディズムWに関連する手術写像により幾何学的に定義され、得られる写像μ_W: R⁺(M) × R⁺(M) → R⁺(M)は、Wの選び方に依存しない（H空間同値の意味で）。
• 次元≥6の単連結なスピン多様体Mに対して、Mがその接続2型においてノルムコボルディズムである限り、向き付けられた微分同相写像群のR⁺(M)上への作用はホモトピー圏で自明である。
• d ≥ 7のとき、写像cl_{g_tor}: (R⁺(S^{d-2}×[0,1])_{g₀,g₀}, μ_cyl) → (R⁺(S^{d-1}), μ_D) はH空間同値である。
• 標準的ディスクD^dによって誘導されるR⁺(S^{d-1})上のH空間構造は、写像cl_{g_tor}を介して、R⁺(S^{d-2}×[0,1])_{g₀,g₀}上のシリンダー空間のH空間構造と同値である。
• R⁺(M)上のH空間構造は、非ゼロのα不変量を持つコボルディズムによって誘導されるホモトピー同値に関しては保存されるが、そのような写像は恒等写像とホモトープではない。