[論文レビュー] H-type foliations

Fabrice Baudoin, Erlend Grong+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、部分リーマン幾何におけるK-contact幾何の一般化としてH型フォリエーションを導入し、水平リッチ曲率の下界がある条件下で直径の上限とサブラプラシアン固有値の推定を確立している。水平クリフォード構造が平行であるH型フォリエーションを分類し、余次元 > 2の場合に水平エインシュタイン性を証明し、水平リッチ曲率を明示的に計算している。

ABSTRACT

With a view toward sub-Riemannian geometry, we introduce and study H-type foliations. These structures are natural generalizations of K-contact geometries which encompass as special cases K-contact manifolds, twistor spaces, 3K contact manifolds and H-type groups. Under an horizontal Ricci curvature lower bound, we prove on those structures sub-Riemannian diameter upper bounds and first eigenvalue estimates for the sub-Laplacian. Then, using a result by Moroianu-Semmelmann, we classify the H-type foliations that carry a parallel horizontal Clifford structure. Finally, we prove an horizontal Einstein property and compute the horizontal Ricci curvature of those spaces in codimension more than 2.

研究の動機と目的

• K-contact幾何を一般化するために、H型フォリエーションを部分リーマン構造の広いクラスとして導入すること。
• 水平リッチ曲率の下界がある条件下で、サブリーマン幾何的直径の上界とサブラプラシアンの第一固有値の推定を確立すること。
• Moroianu-Semmelmannの結果を用いて、平行な水平クリフォード構造を持つH型フォリエーションを分類すること。
• 余次元 > 2の場合に水平エインシュタイン性を証明し、水平リッチ曲率を明示的に計算すること。

提案手法

• K-contact多様体、ツイスター空間、3K-contact多様体、H型群の自然な一般化としてH型フォリエーションを導入すること。
• 水平リッチ曲率の曲率バインドを適用し、幾何的比較技法を用いてサブリーマン幾何的直径推定を導出すること。
• サブラプラシアンのスペクトル理論を用いて、同じ曲率仮定の下で第一固有値推定を確立すること。
• MoroianuとSemmelmannによる平行な水平クリフォード構造に関する結果を活用し、このような構造を持つH型フォリエーションを分類すること。
• 水平曲率計算を用いて、余次元 > 2の場合に水平エインシュタイン性を証明すること。
• フォリエーションおよび水平分布の構造的性質を用いて、余次元 > 2の場合のH型フォリエーションにおける水平リッチ曲率を明示的に計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 水平リッチ曲率の下界がある条件下で、H型フォリエーションの幾何的およびスペクトル的性質は何か？
• RQ2 どのH型フォリエーションが平行な水平クリフォード構造を持つのか？ そして、それらはどのように分類可能か？
• RQ3 H型フォリエーションが水平エインシュタイン条件を満たすのはどのような条件下か？
• RQ4 余次元が2より大きいH型フォリエーションにおいて、水平リッチ曲率をどのように明示的に計算できるか？
• RQ5 H型フォリエーションは、K-contact多様体やツイスター空間といった既知の構造をどのように一般化するか？

主な発見

• 水平リッチ曲率の下界がある条件下で、本稿ではH型フォリエーションのサブリーマン幾何的直径に対して上界が確立されている。
• 同じ曲率条件下で、H型フォリエーション上のサブラプラシアンの第一固有値が下から推定されている。
• 平行な水平クリフォード構造を持つH型フォリエーションは、MoroianuとSemmelmannの結果を用いて完全に分類されている。
• 本稿では、余次元が2より大きいH型フォリエーションが水平エインシュタイン条件を満たすことを証明している。
• 余次元が2より大きいH型フォリエーションに対して、水平リッチ曲率の明示的公式が導出されている。
• H型フォリエーションのクラスは、K-contact多様体、ツイスター空間、3K-contact多様体、H型群を特別な場合として含んでいる。